結式

結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 ${\displaystyle F}$ 上兩個多項式 ${\displaystyle P,Q}$，設其首項係數分別為 ${\displaystyle a,b}$，則其結式定義為

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,}$

其中 ${\displaystyle {\bar {F}}}$ 為 ${\displaystyle F}$ 的給定代數閉包。由此定義的結式是 ${\displaystyle F}$ 的元素，而与代數閉包的選取无关。

計算方式

• 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
• 為簡單起見，假設 ${\displaystyle P,Q}$ 首項係數為一；若 ${\displaystyle Q}$ 是可分多項式（換言之：無重根），則定義可改寫為

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,}$

此式僅依賴於 ${\displaystyle Q}$ 除以 ${\displaystyle P}$ 的餘式。

• 承上，可透過輾轉相除法求得結式。

性質

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)}$
• 若 ${\displaystyle P_{1}=P+R*Q}$且${\displaystyle \deg P_{1}=\deg P}$，那么${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)}$。在論及計算方式時已利用此性質。
• 若 ${\displaystyle X,Y,P,Q}$ 同次，${\displaystyle X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q}$，則有

${\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)}$

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)}$，其中 ${\displaystyle P_{-}(z):=P(-z)}$。

應用

• 一多項式 ${\displaystyle P}$ 與其導數 ${\displaystyle P'}$的結式可由判別式 ${\displaystyle D(P)}$ 表示：設 ${\displaystyle P}$ 的首項係數為 ${\displaystyle a}$，則

${\displaystyle D(P)=(-1)^{\frac {\deg P(\deg P-1)}{2}}a^{-1}\mathrm {res} (P,P')}$。

• 在代數幾何中，可用結式計算兩條平面代數曲線之交。
• 在域論中，結式可用來計算範數。

外部連結

• Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. （页面存档备份，存于互联网档案馆）