在代數幾何 中，一條代數曲線 是一維的代數簇 。最典型的例子是射影平面
P
2
{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}
齊次多項式
f
(
X
,
Y
)
{\displaystyle f(X,Y)}
射影空間 中的曲線可視作仿射曲線的緊化 ，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程
g
i
=
0
{\displaystyle g_{i}=0}
i
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}
g
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⟶
(
X
0
)
deg
g
i
g
i
(
X
1
X
0
,
…
,
X
n
X
0
)
{\displaystyle g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}
遂得到
n
−
1
{\displaystyle n-1}
P
F
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{n}}
U
0
:=
{
(
X
0
:
⋯
:
X
n
)
|
X
0
≠
0
}
{\displaystyle U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}}
P
Q
3
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}}
X
n
+
Y
n
+
Z
n
=
0
{\displaystyle X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0}
X
n
+
Y
n
=
Z
n
{\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}}
複射影曲線可以嵌入
n
{\displaystyle n}
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}
黎曼曲面 ，即一維的緊複流形 ，因而是可定向的二維緊流形 。這時該曲面的拓撲虧格 （直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格 。視這類曲線為黎曼曲面 ，則可以採複分析 手法加以研究。另一方面，黎曼 則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。
於是我們有三個相互等價的範疇 ：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
複分析 （包括位勢論 ）、代數幾何 與域 論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。
曲線在一點
P
{\displaystyle P}
雅可比矩陣 判斷。以下考慮嵌於
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
齊次多項式
g
1
,
…
,
g
n
−
1
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}
(
∂
g
i
∂
x
j
)
i
,
j
{\displaystyle \left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}}
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
奇點 。在一點的平滑性與多項式
g
1
,
…
,
g
n
−
1
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}
在平面射影曲線的例子，假設曲線
C
{\displaystyle C}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle f(x,y,z)=0}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
∇
f
{\displaystyle \nabla f}
∂
f
∂
x
(
P
)
=
∂
f
∂
y
(
P
)
=
∂
f
∂
z
(
P
)
=
0
(
P
∈
C
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)}
在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線 。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開 映射或正規化 解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域 上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格 ，後者是個雙有理不變量。
x 3 = y 2 曲線的奇點 包括多重點 （這是曲線的自交點）及尖點 （如仿射曲線
x
3
=
y
2
{\displaystyle x^{3}=y^{2}}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
P
{\displaystyle P}
透過平移，不妨假設
P
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle P=(0,0)}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
f
(
x
,
y
)
=
∑
n
≥
1
f
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)}
其中
f
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{n}(x,y)}
n
{\displaystyle n}
齊次多項式 。直觀地想像，
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
f
m
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{m}(x,y)}
f
m
(
x
,
y
)
=
∏
i
=
1
m
(
a
i
x
−
b
i
y
)
{\displaystyle f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)}
換言之，曲線在原點附近將近似於
m
{\displaystyle m}
a
i
x
−
b
i
y
=
0
{\displaystyle a_{i}x-b_{i}y=0}
r
{\displaystyle r}
分支數 ，正整數
m
{\displaystyle m}
重數 ，此外還有一個內在的不變量
δ
P
:=
dim
O
C
~
,
P
/
O
C
,
P
{\displaystyle \delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}}
C
~
→
C
{\displaystyle {\tilde {C}}\rightarrow C}
正規化 態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如一般尖點 對應到
[
2
,
1
,
1
]
{\displaystyle [2,1,1]}
一般雙重點 對應到
[
2
,
1
,
2
]
{\displaystyle [2,1,2]}
一般n重點 則對應到
[
n
,
n
(
n
−
1
)
2
,
n
]
{\displaystyle [n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]}
各奇點的不變量δP 決定平面曲線
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
deg
f
=
d
{\displaystyle \deg f=d}
g
=
1
2
(
d
−
1
)
(
d
−
2
)
−
∑
P
δ
P
,
{\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}
對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為Milnor數 ：同樣假設
P
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle P=(0,0)}
B
ϵ
:=
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
:
|
x
|
2
+
|
y
|
2
<
ϵ
}
{\displaystyle B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}}
(
x
,
y
)
≠
(
0
,
0
)
⇒
∇
f
(
x
,
y
)
≠
0
{\displaystyle (x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0}
∇
f
(
x
,
y
)
:
B
ϵ
−
{
(
0
,
0
)
}
→
B
ϵ
−
{
(
0
,
0
)
}
{\displaystyle \nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}
由於
B
ϵ
−
{
(
0
,
0
)
}
{\displaystyle B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}
同倫等價 於三維球面
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
μ
=
2
δ
−
r
+
1
{\displaystyle \mu =2\delta -r+1}
事實上，
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
:
f
(
x
,
y
)
=
0
}
∩
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
:
|
x
|
2
+
|
y
|
2
=
ϵ
}
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}}
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
:
|
x
|
2
+
|
y
|
2
=
ϵ
}
≅
S
3
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}}
奇點環圈 ，它具有複雜的拓撲性質。例如：
x
3
=
y
2
{\displaystyle x^{3}=y^{2}}
三葉結 。
域
F
{\displaystyle F}
有理曲線 是雙有理等價 於射影直線
P
F
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{1}}
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)}
F
{\displaystyle F}
x
2
+
y
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}
具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線 。
任何
F
{\displaystyle F}
圓錐曲線 都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點
P
{\displaystyle P}
t
{\displaystyle t}
F
{\displaystyle F}
P
{\displaystyle P}
F
{\displaystyle F}
t
{\displaystyle t}
F
{\displaystyle F}
x 2 + xy + y 2 = 1例 。考慮斜橢圓
E
:
x
2
+
x
y
+
y
2
=
1
{\displaystyle E:x^{2}+xy+y^{2}=1}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
y
=
t
(
x
+
1
)
{\displaystyle y=t(x+1)}
x
=
1
−
t
2
1
+
t
+
t
2
{\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}}
y
=
t
(
x
+
1
)
=
t
(
t
+
2
)
1
+
t
+
t
2
{\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}}
這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。
將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線
X
2
+
X
Y
+
Y
2
=
Z
2
{\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!}
以上參數化遂表為
X
=
1
−
t
2
,
Y
=
t
(
t
+
2
)
,
Z
=
t
2
+
t
+
1
{\displaystyle X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!}
若取
t
{\displaystyle t}
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X,Y,Z}
不定方程
X
2
+
X
Y
+
Y
2
=
Z
2
{\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}}
X
{\displaystyle X}
−
X
{\displaystyle -X}
餘弦定理 ，藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形，例如取
t
=
2
{\displaystyle t=2}
橢圓曲線 可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線 。此時通常取無窮遠處的反曲點 為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯 形式：
y
2
z
+
a
1
x
y
z
+
a
3
y
z
2
=
x
3
+
a
2
x
2
z
+
a
4
x
z
2
+
a
6
z
3
.
{\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!}
橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群 結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇 。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於
C
/
Λ
{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }
Λ
{\displaystyle \Lambda }
橢圓函數 給出。
對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理 ，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面 ，它們則帶有雙曲幾何 的結構。例子包括超橢圓曲線 克萊因四次曲線 費馬曲線
n
≥
4
{\displaystyle n\geq 4}
Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves , John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable , American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces , Springer, 1980
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John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces , Princeton University Press, 1968
George Salmon, Higher Plane Curves , Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields , Springer, 1988 
![{\displaystyle g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14687881959e5f026550a1886bd3f446065fbf1)
![{\displaystyle f\in F[x,y]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ad6434e85474512ce73f7ce7709e896b0f817d)
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453d1013f9dd290be70d5fe534e0d3311b0a7c6a)
![{\displaystyle [2,1,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f3618e5742e6ca55713bf61c0f64fcfe3983b2)
![{\displaystyle [2,1,2]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9134f420ce910e6fa76cdac6fb4390908d42faa7)
![{\displaystyle [n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d39a3d34685190ee1d2d5df027675143fc29718)
