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極大與極小元
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数学分支序理论中,預序集子集的極大元(英語:maximal elements)不小於
的任何元素。極小元(minimal elements)可對偶地(英语:Duality (order theory))定義,其不大於
的任何元素。
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極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集的最大元需要「大於或等於」
的全體元素(最小元同樣為其對偶),極大元則衹需「不小於」(例如不可比較(英语:Comparability))。若將預序集限縮至偏序集,則至多衹有一個最大元和一個最小元,但極大、極小元皆可有多於一個。[1][2]但在全序集上,最大等價於極大,最小亦等價於極小。
以集族
為例,其上的偏序為包含關係。當中極小,因為不包含族中任何其他集合,反之
極大,因為不被其他集合包含。
則既非極小亦非極大,但
同時為極小、極大。相比之下,
無最大元和最小元。
定義
設為预序集,又設
,則
中關於
的極大元定義為滿足以下性質的元素
:
- 若有
使
則必有
與之類似,中關於
的極小元是滿足以下性質的元素
:
- 若有
使
則必有
等價地,亦可將關於
的極小元定義為
關於
的極大元,其中對任意
,
當且僅當
。
若無明示子集,則所謂極大元預設是
的極大元。
若預序集實為偏序集[註 1],或者限縮到
是偏序集,則
為極大當且僅當
無嚴格較
大的元素。換言之,不存在
使
及
將本段的
號一律換成
就得到極小元的描述。
存在性
極大/極小元不必存在。
但在某些情況下,極大/極小元保證存在。
- 若
為有限非空子集,則必有極大元和極小元。(對無窮子集無此結論,如整數系
就沒有極大元。)
- 佐恩引理斷言:「若偏序集
中,每個全序子集
皆有上界,則
至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理和选择公理,[3]在數學的多個分支有重要推論,例如可證任何向量空間皆有基(極大的代數無關子集),或是任何域皆有代數閉包(代數擴張偏序下的極大元)。
唯一性
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極大/極小元不必唯一。
各領域例子
- 帕累托效率中,「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善偏序下的極大元,此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」(Pareto frontier)。
- 决策论中,可容決策規則(英语:admissible decision rule)是優勢(英语:dominating decision rule)偏序下的極大元。
- 现代投资组合理论中,風險(以低為優)與回報(以高為優)的積序(英语:product order)[註 2]下,極大元稱為效率投資組合(efficient portfolio),組成的集合則為效率前緣(英语:efficient frontier)。
- 集合论中,某集合為有限當且僅當其任意非空子集族(以包含關係為偏序)皆有極小元。[註 3]
- 抽象代数中,需要將最大公因數的概念推廣為極大公因子(英语:maximal common divisor),因為某些數系中,若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元(整除意義下)。
- 计算几何中,點集的極大元(英语:maxima of a point set)是逐分量比較[註 2]下的極大元。
註
參考文獻
- Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics, American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3.
- Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
- Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Dover Publications(英语:Dover Publications). 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8.