代數擴張
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代数扩张(英語:Algebraic extension)是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張L/K被稱作代數擴張,若且唯若L中的每个元素都是某个以K中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有:、
。
定义
代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张L/K,L某个元素如果是一个以K中元素为系数的非零多項式的根,则称其为K上的代数元。如果L中所有元素都是K上的代数元,就称域扩张L/K为代数扩张。
次數
設有域擴張L/K,L可以看作是K上的向量空間,将其維度稱作這個擴張的次數,记作[L:K]。有限次數的擴張(簡稱有限擴張)都是代數擴張;反之,給定一個代數擴張L/K,則L裡的任一元素α生成的子擴張K(α)/K都是K的有限擴張。但代数扩张本身并不一定是有限扩张,一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。
代數擴張與多項式的根
在一個代數擴張L/K中,L中的每個元素α都是某個以K中元素为系数的多項式(以下简称K-多项式,所有K-多项式的集合记作K[X])f的根。所有以α为根的K-多項式中次數最低者稱作α的极小多項式(通常要求其为首一多项式,即最高次项係數等於一,以保證唯一性)。极小多項式總是不可约多項式。
若K-多项式f不可約,則商環L := K[X]/( f )是K的一個域擴張,它的次数[L : K] = deg(f),而且不定元X在商环中的像是在f的一個在L中的根,其极小多項式正是f。通過這種構造,我們可抽象地加入某個多項式的根。例如就是在实数域中添加了虚数单位i得到的扩域:複數域
。
给定域扩张L/K,如果K-多项式f可以在L中分解成一次因子的積,則稱f在L中分裂。根據上述構造,總是可以找到一個足夠大的代數擴張K'/K使得f分裂;K'裡滿足此性質的“最小”子擴張稱作f在K上的分裂域。f在K上的任兩個分裂域至多差一個K上的同構(即:一個限制在K上的部分為恆等映射的環同構)。
正規擴張
正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一個代數擴張L/K被稱作正規擴張,若且唯若它滿足下述三個等價條件之一:
- 固定代數閉包Kalg,任何K上的(即在K上是恆等映射的)域嵌入σ : L → Kalg,都有σ(L) = L。
- 存在一族在L上分裂的多項式
,使得L/K是在K中添加它們的根生成的域扩张。
- K[X]中任何不可約多項式若在L裡有根,則在L裡分裂(全部的根都在L里面)。
正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着K[X]里的一个多项式。
例子
在
上的分裂域是
。
在
上的分裂域是
。
在
上的分裂域是
。
是正規域擴張,
卻不是,因為後者並沒有包括
的所有根,欠了
。
可分擴張
設L/K為代數擴張,如果α的极小多項式沒有重根,則稱α可分(重根的存在性與域擴張的選取無關,可分性等價於(f, f' ) = 1,這可以直接在K中計算)。所有可分元素形成一個中间域K⊂F⊂L,[L : K]s := [Ls : K]稱作L/K的可分次數。若Ls = ; L,則稱L/K是可分擴張。
當L/K是有限擴張時,定義不可分次數[L : K]i := [L : K]/[L : K]s。當基域的特徵為零時,任何代數擴張都是可分的;任何有限域的擴張也都是可分的。
参考文献
- Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X