数学分支序理论中,最大元是某集合中,大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之對偶,小於等於該集合的任何元素。例如,實數集
中,最大元是
,而最小元是
,但是區間
並無最大元或最小元。
60的因數集
,按整除偏序
畫成哈斯圖。紅色子集
有兩個極大元3、4,和一個極小元1,同時也是最小元。但是,
沒有最大元。
此處「大小」關係除一般實數的大小關係外,也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。
嚴格定義
設
為偏序集(或預序集亦可),
為其子集。若
的元素
滿足:
- 對
的任意元素
,皆有
,
則
稱為
的最大元(英語:greatest element)。對偶地,若
的元素
滿足:
- 對
的任意元素
,皆有
,
則
稱為
的最小元(least element)。
由定義,
的最大(小)元必定是
的上(下)界。且若
為偏序集,則集合
至多得一個最大元:若
和
皆為最大,則由定義有
,又有
,由反對稱性得
。所以若有最大元,則必定唯一。若改為預序集則不一定。
整個偏序集
的最大最小元又稱為頂(top)和底(bottom)。頂常以符號記作
或
,底則是
或
,在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。
與極大極小元、上下界之別
集合不一定有最大元,也不一定有上界。即使集合有上界和上確界,也不一定有最大元。舉例,實數系
中,任何正數皆是負數子集
的上界,且
為其上確界,但是沒有最大元:不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元(maximal element)不同:有極大元的集合不一定有最大元,但偏序集若有最大元,則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元(minimal element)亦不同。
性質
設
為偏序集,
為其子集。
- 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
若有最大元
,則
必定是極大元。此時,
衹有這一個極大元:對任意極大元
,由於
是最大元,必有
,從而由
極大知
。所以若
有多於一個極大元,則不能有最大元。
- 若
滿足升链条件,則其子集
有最大元当且仅当其恰有一個極大元。
- 「僅當」:最大元必然是極大元。
- 「當」:假設
有唯一極大元
但沒有最大元。因為
不是最大,有
與
不可比,又
不是極大,所以有某個
滿足
。
與
也不可比:若
,則與
極大矛盾;反之
又推出
,與
、
不可比又矛盾。重複以上步驟,可得無窮遞升鏈
(其中每個
皆與
不可比,又非極大),與升鏈條件矛盾。
全序集的最大最小元
假如
限制到子集
上為全序(如首段附圖的
),則在
中,最大元與極大元等價:若
為極大,則對任意其他
,必有
(
將與
極大矛盾),故
是最大元。
所以,全序集中,最大元與極大元兩個概念重合,有時也稱為最大值(maximum),同理最小元與極小元也稱為最小值(minimum)。但上述用法與實值函數論的用法略有出入。[2]研究實值函數時,所謂最大值是函數的值域的最大元,又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。[3]而限制到某點鄰域時,對應值域的最大元(等同於極大元)則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。[4]最大最小值又合稱最值,極值亦同。
集合
的最大最小值分別記作
。在格理論或概率论中,為方便運算,會將兩數
之最大最小值(即其組成二元集的最大最小元)簡記作併
和交
。換言之:
[5]
例
例2之哈斯圖
- 實數集
中,全體整數組成的子集
沒有上界,從而沒有最大元。
- 如圖所示,在集合
上,定義自反關係
使
。則
皆是集合
的上界,但因為不可比較,沒有最小上界。又
不可比,
沒有最大元。
- 有理數集
中,平方小於2的數所組成的子集
有上界(如
),但沒有最大元,也沒有上確界。
中,區間
有上確界
而沒有最大元。但區間
有最大元
,同時也是上確界。
配備積偏序時[註 1],滿足
(而
任意)的二元組
的集合
沒有上界,也沒有最大元。
- 但當
配備字典序時[註 2],
有上界
,但仍沒有上確界和最大元。
參見
註
參考文獻