主理想整环
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在抽象代数中,主理想整环(英語:principal ideal domain,简称PID)是其中所有理想都是主理想(由一个元素生成的理想)的整环[1]。一个更广泛的概念是主理想环,它指的是其中所有理想都是主理想的非零交换环[2],但一些作者(如布尔巴基)把主理想整环称为主理想环[3]。主理想整环和主理想环的区别在于主理想环可以有零因子,而主理想整环不可以。
因此,在可除性上,主理想整环性质与整数类似:每一个主理想整环的元素都有唯一的质元素分解(因此算术基本定理的类似形式成立);每一对主理想整环的元素都有最大公因数(但可能不能通过欧几里得算法计算它)。如果和是主理想整环的元素但没有可逆元以外的公因数,那么每个主理想整环的元素都可以写成的形式。
主理想整环是诺特环、整闭整环(英语:integrally closed domain)、唯一分解整环、戴德金整环。所有欧几里得整环和域都是主理想整环。
主理想整环在以下的包含链中出现: