無窮盡

無窮無盡（冇窮冇盡），亦即無窮（冇窮），亦即無盡（冇盡），無窮盡（冇窮盡），搵唔到盡頭嘅意思。數學而言，亦有無限大（冇限大）同無窮大（冇窮大）嘅講法，符號∞，拉丁文叫infinitas，英文叫infinity，即係冇邊界咁解，即係無限（冇限）同無極限（冇極限）。然而，無限大只係數學其中一種無窮盡。

數學嘅數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 二進分數 有限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 負數 分數 單位分數 無限小數 規矩數 無理數 超越數 二次無理數 虛數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

雙複數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 共四元數 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${\displaystyle {}^{\star }\mathbb {R} }$

其他

對偶數 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 艾禮富數 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = ${\displaystyle +{\sqrt {-1}}}$ 無窮大量 ∞

平行鏡面嘅反射理論上可以去到無窮無盡

窮同盡係同義字，就係去到絕，去到尾。無窮無盡，就係唔會完，搵唔到絕，搵唔到尾。古時會諗到一啲問題，諸如一支竹斬開一半，半枝又再斬開一半，如此下去，幾時到盡呢。又或者，開天辟地，天每日升高一倍，如此下去，係咪高到無盡呢。咁就係無窮盡嘅概念。

無窮盡喺神學、哲學、數學同埋日常生活中，有唔同嘅概念，通常唔涉及更加技術層面嘅定義。探求無窮盡，亦即探求宇宙同微觀世界本質，亦係物理學嘅範疇。

神學而言，會探討無窮盡。如神學家東斯歌德（Duns Scotus）寫著作有講，上帝嘅無限能量係運用喺無約束上，而唔係運用喺無限量上。喺哲學方面，無窮可以歸因於空間同埋時間。喺神學同埋哲學兩方面，無窮又作為無限，好多文章都探討過無限、絕對、上帝同埋芝諾悖論等嘅問題。

數學而言，無窮盡同埋以下嘅主題或概念相關：數學嘅極限、阿列夫數、集合論中嘅類、戴德金－無限群、羅素悖論、超實數、射影幾何、擴展嘅實數軸同埋絕對無限。喺一啲主題或概念中，無窮係一個超越邊界而增加嘅概念，而唔係一個數。

大眾文化，亦中意用無窮盡，如《反斗奇兵》入面巴斯光年嘅口頭禪：「To infinity and beyond!」（到達無窮，超越無窮），呢句睇成研究大型基數嘅集合論者嘅吶喊都得。

文學中亦有，如楚辭寫，「道可受兮而不可傳，其小無內兮其大無垠。」無垠，可以大到無邊。如長恨歌，「此恨綿綿無絕期」，就係時間上嘅無窮盡。無垠（冇垠）、無邊（冇邊）、無絕（冇絕）、無疆（冇疆），都係無窮盡嘅諗法。

史

上古睇無窮盡

印度

最早無窮盡嘅記載，見於印度嘅夜柔吠陀（西元前1200－900）。書中話：「若果你由無限移走或添加一部分，剩低嘅都係無限。」

印度耆那教嘅經書《Surya Prajnapti》（c. 400 BC）將數分作三類：「計到嘅」、「計唔到嘅」同埋「無限」。每一類再細分作三序分：

• 計到嘅：小嘅、中嘅同埋大嘅。
• 計唔到嘅：接近冇得計嘅、真正冇得計嘅同埋計無可計嘅。
• 無限：接近無限、真正無限同埋無窮無盡。

希臘

現代科學家解析古代羊皮卷中嘅阿基米德手稿，喺殘卷《方法》命題十四中，發現阿基米德開始計算無窮大嘅數目。佢採取近似於十九世紀微積分同埋集合論嘅手法，計算咗兩組無窮大嘅集合，以求同埋嘅方法，證明佢哋之間嘅數目係相等嘅。

呢樣喺人類記載上第一次出現無限都可以分類呢一個念頭。

文藝復興時代到近代

伽利略最先發現一個集合同佢自己嘅正適子集可以有相同大細。

佢用上一一對應嘅概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}同子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就係1→1、2→4、3→9、4→16、…

一一對應正係用於研究無限必要嘅手法。

神學

人眼中嘅無限喺上帝眼中都係有限，人無法理解上帝嘅無限，因為上帝冇允許人跨越過上帝嘅知識範圍。

數學

對於無限有以下解釋或定義：

「無限唔係指邊界外就冇嘢，而係指邊界外永遠有另一個邊界存在。」

實分析

喺實分析中，符號 ${\displaystyle \infty }$ 稱為「無窮」，代表無界極限。${\displaystyle x\to \infty }$ 表示 ${\displaystyle x\quad }$ 超過任何一個數，${\displaystyle x\to -\infty }$ 表示 ${\displaystyle x\quad }$ 最終細過任何一個數。標記為 ${\displaystyle \infty }$ 同埋 ${\displaystyle -\infty }$ 嘅點加入到實數組成嘅拓撲空間，就產生實數集嘅「兩點緊致化」。再加入代數屬性，就可以得到超實數。亦可以將 ${\displaystyle \infty }$ 同埋 ${\displaystyle -\infty }$ 作為一個點，並得到實數嘅「一點緊致化」，亦即係實射影線。射影幾何喺平面幾何上引入無窮遠線，喺高維上亦有類似概念。

無窮大無窮小

一般講無窮指嘅都係無窮大，但係無窮小亦係一種無窮。通過 ${\displaystyle y=1/x}$ 嘅映射即可以將無窮大映射為無窮細。喺微積分中，常用高階無窮小嘅概念。

無窮遠點

無窮遠點係一個加喺實數軸上後得到實射影直線${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$嘅點。可理解為實數軸上面 ${\displaystyle 0}$ 嘅倒數嘅位置。

集合論

喺集合論中對無窮有不同嘅定義。德國數學家康托爾提出，對應於唔同無窮集合嘅元素嘅個數（基數），有唔同嘅「無窮」。

呢度比較唔同嘅無窮嘅「大細」嘅時候唯一嘅辦法就係通過可唔可以建立「一一對應關係」來判斷，而拋棄歐幾里得「整體大於部分」嘅看法。例如整數集同埋自然數集由於可以建立一一對應嘅關係，佢哋就具有相同嘅無窮基數。

例如，

• 可數集合，好似自然數集、整數集乃至有理數集對應嘅基數被定義為阿列夫0（${\displaystyle \aleph _{0}}$）。
• 比可數集合「大」嘅稱之為不可數集合，好似實數集，佢嘅基數同埋自然數嘅冪集相同（${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$）。
• 由於一個無窮集合嘅冪集總係具有比佢本身更高嘅基數，所以通過構造一系列嘅冪集，可以證明無窮嘅基數嘅個數係無窮嘅。然而，無窮基數嘅個數比任何基數都多，從而佢係一個比任何無窮大都要大嘅「無窮大」，佢唔可以對應於一個基數，否則會產生康托爾悖論嘅一種形式。

虛數形式標記

無窮係自然科學理論同埋現象描述中嘅重要概念同埋思想，假設：

${\displaystyle s=\arctan \left(i\right)}$ ， ${\displaystyle i^{2}=-1\quad }$

通過Euler公式可以得到：

${\displaystyle -i\times \tanh(i\cdot s)=\tan(s)=i}$ ，

${\displaystyle \exp(i\cdot s)=0}$ 。

咁表明 ${\displaystyle is\quad }$ 係對負無窮大（${\displaystyle -\infty }$）予以虛數形式嘅標記^[1]。

無窮影像

被普遍認為嘅「兩塊鏡產生無窮影像」實際上係錯嘅。首先，喺物理學界，光嘅速度係有限嘅（大概每秒 300,000,000 米），可以喺鏡上面睇到嘅影像係因為光喺鏡上反射至會出現。但係，光嘅速度有限，因此兩塊鏡產生嘅影像亦會有限，而且影像嘅數目會以一直變慢嘅增長率增加。

參考

1. YAN Kun. Primary annotation of symbol basing on imaginary form about infinity(R).Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute, 18 March 2009.

睇埋

• 極限
• 0.999…
• 非標準分析
• 連續統假設
• 無限猴子定理
• 無窮公理
• 銜尾蛇