複數

數學上複數係一個可以用${\displaystyle a+bi}$ 嚟表示嘅數，${\displaystyle a}$同${\displaystyle b}$都係實數，而${\displaystyle i}$係單位虛數，符合${\displaystyle i^{2}=-1}$。

數學嘅數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 二進分數 有限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 負數 分數 單位分數 無限小數 規矩數 無理數 超越數 二次無理數 虛數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

雙複數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 共四元數 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${\displaystyle {}^{\star }\mathbb {R} }$

其他

對偶數 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 艾禮富數 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = ${\displaystyle +{\sqrt {-1}}}$ 無窮大量 ∞

${\displaystyle a}$ 叫複數嘅實部，而 ${\displaystyle b}$ 叫做虛部。當 ${\displaystyle b=0}$ 嗰陣，個數就係${\displaystyle a}$，即係實數；${\displaystyle b\neq 0}$ 嘅話，就叫複數；如果 ${\displaystyle a=0}$ 而 ${\displaystyle b\neq 0}$，就叫純虛數。一個複數 ${\displaystyle z}$ 嘅實部又可以寫成 ${\displaystyle \Re (z)}$，虛部又可以寫成 ${\displaystyle \Im (z)}$。

舉個例，${\displaystyle 3+2i}$ 係複數（亦係虛數），而實部係 ${\displaystyle 3}$，虛部係 ${\displaystyle 2}$；${\displaystyle 2i}$ 係純虛數。又可以寫成 ${\displaystyle \Re (3+2i)=3}$、${\displaystyle \Im (3+2i)=2}$。

複數亦都可以用 ${\displaystyle re^{i\theta }}$ 嘅形式表達，${\displaystyle r}$ 係半徑，${\displaystyle \theta }$ 係傾角。當傾角等於 ${\displaystyle 180}$° 嘅倍數時，係一個實數；而其他角度時（${\displaystyle r\neq 0}$）就係虛數。

複數可以加、減、乘、除，同實數一樣，用數學嘅語言嚟講複數集形成一個場，不過就有深刻啲嘅特性。例如，唔係每個實系數多項式都有實數根（簡稱實根），而複數根（簡稱複根）就個個都有（代數基本定理），呢個性質叫做代數封閉。亦即係話，複數係實數嘅閉包。

歷史上，數學家係因為解三次方程式而發現複數嘅，佢哋用 Cardano 公式嚟解方程，發現套用公式嗰陣個開方入邊成日都有負數，甚至係連條三次方程有三個實解嗰陣啲中途步驟都會出現開方負數。

表示形式

• 直角座標形式：${\displaystyle a+bi}$

${\displaystyle a}$同${\displaystyle b}$都係實數，而${\displaystyle i}$係單位虛數，符合${\displaystyle i^{2}=-1}$。

${\displaystyle a}$ 叫複數嘅實部，而 ${\displaystyle b}$ 叫做虛部。

• 極座標形式：${\displaystyle r\angle \theta }$

${\displaystyle r\geq 0}$ 係半徑，${\displaystyle \theta }$ 係傾角。

性質

• 0 屬於實數。
• 虛數冇咗三一律，即係冇得好似實數噉比較大細，準確嚟講，喺複數呢個集上邊唔存在一個同複數加法、乘法相容嘅全序關係。
• 共軛複數係指兩個複數嘅實部一樣，而虛部互為相反數，即係 ${\displaystyle a+bi}$ 同 ${\displaystyle a-bi}$；或者半徑一樣，傾角相反，即係 ${\displaystyle re^{i\theta }}$ 同 ${\displaystyle re^{-i\theta }}$。當一個複數 ${\displaystyle z=a+bi}$ 嘅時候，佢嘅共軛複數可以喺上邊加一條線，以 ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ 表示。

運算法則

兩個複數進行運算時嘅法則如下：

• 加法：${\displaystyle (a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i}$
• 減法：${\displaystyle (a+bi)-(x+yi)=(a-x)+(b-y)i}$
• 乘法：${\displaystyle (a+bi)\times (x+yi)=ax+ayi+bxi+byi^{2}=(ax-by)+(ay+bx)i}$
• 除法：${\displaystyle {{a+bi} \over {x+yi}}={{a+bi} \over {x+yi}}\times {{x-yi} \over {x-yi}}}$（有理化分母）

${\displaystyle ={{(ax+by)+(bx-ay)i} \over {x^{2}-(yi)^{2}}}={{(ax+by)+(bx-ay)i} \over {x^{2}+y^{2}}}={{{ax+by} \over {x^{2}+y^{2}}}+{{bx-ay} \over {x^{2}+y^{2}}}i}}$

• 倒數：${\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}={\frac {1}{a+bi}}\cdot {\frac {a-bi}{a-bi}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i}$

極座標嘅乘除比較簡單：

• 乘法：${\displaystyle r_{1}e^{i\theta _{1}}\times r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}}$
• 除法：${\displaystyle {r_{1}e^{i\theta _{1}} \over r_{2}e^{i\theta _{2}}}={r_{1} \over r_{2}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}}$

睇埋

• 三一律
• 虛數
• e (數學常數)