三角函數

三角函數係角度嘅函數，由直角三角形嘅內角同兩條邊嘅比率去計。

三角函數

定義

由於所有角度不變時，兩個三角形相似，對應邊長嘅比會一樣。所以邊長兩兩相比，產生出六個三角函數。

基本概念

三角函數有六個：

• 正弦（sin），值域係 ${\displaystyle [-1,1]}$。
• 餘弦（cos），值域係 ${\displaystyle [-1,1]}$。
• 正切（tan），值域係 ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$。
• 餘切（cot），值域係 ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$。
• 正割（sec），值域係 ${\displaystyle ([-\infty ,-1]}$ 同埋 ${\displaystyle [1,\infty ])}$。
• 餘割（csc），值域係 ${\displaystyle ([-\infty ,-1]}$ 仲有 ${\displaystyle [1,\infty ])}$。

（睇吓區間。）

另外 ${\displaystyle \mathrm {cis} (x)}$ 係 ${\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}$ 嘅意思。(呢度 ${\displaystyle i}$ 係虛數單位。)

關係

${\displaystyle \sin(x)=\cos(90^{\circ }-x)=\cos(x-90^{\circ })}$

${\displaystyle \cos(x)=\sin(90^{\circ }\pm x)}$

${\displaystyle \tan(x)={\sin(x) \over \cos(x)}}$

${\displaystyle \cot(x)={1 \over \tan(x)}}$

${\displaystyle \sec(x)={1 \over \cos(x)}}$

${\displaystyle \csc(x)={1 \over \sin(x)}}$

圓定義

三角函數亦可以用圓形來定義。如果傾角叫 ${\displaystyle x}$ 喺單位圓（半徑係 ${\displaystyle 1}$ 嘅圓）嘅高度就係 ${\displaystyle \sin(x)}$，闊度就係 ${\displaystyle \cos(x)}$，相對於圓心，所以有正負之分。而當闊度係 ${\displaystyle 1}$ 嗰陣，高就係${\displaystyle \tan(x)}$。

同複數嘅關係

因為發現咗歐拉恆等式同歐拉公式，三角函數亦都可以用複數嚟表示，互相有連繫。