歐拉恆等式

歐拉恆等式係指以下嘅恆等式：

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

其中${\displaystyle e\,}$係自然對數嘅底，${\displaystyle i\,}$係虛數單位，${\displaystyle \pi \,}$係圓周率。

歐拉恆等式係以瑞士數學家歐拉嚟命名，被視爲展示數學之美嘅一個例子，因爲佢連接咗數學入面最基礎嘅五個常數。

解說

虛數嘅冪

睇埋：歐拉公式

歐拉恆等式係歐拉公式嘅一個特例。歐拉公式寫明，任何實數${\displaystyle x}$，

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$。

代${\displaystyle x=\pi }$嘅話，因為${\displaystyle \cos \pi =-1}$同${\displaystyle \sin \pi =0}$，

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i}$，

即係歐拉恆等式：

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

幾何詮釋

由1+0i開始行個半圓，再向右行一格。

幾何上可以用Argand 平面嚟解釋，${\displaystyle e^{i\pi }}$即係由${\displaystyle 1+0i}$開始，逆時針轉半個圈，去到${\displaystyle -1+0i}$，再加1，即係向右行一格，咁就到咗原點啦。