向量空間 (英文 : vector space ),又可以叫綫性空間 (linear space ),係指一個由「向量 」組成嘅集合 ,當中呢啲向量可以加埋一齊(向量加法 )或者俾純量 乘大乘細(純量乘法 )-簡單講,一個向量空間就係由好大拃向量結合形成嘅空間 。向量空間有得按好多唔同嘅準則分類,例如係按照「乘得落啲向量度嘅純量係實數 定虛數 」分做實(real)向量空間 同複(complex)向量空間 噉[1] ,又可以按照上邊嘅額外結構分做代數 、拓樸向量空間 、巴那赫空間 等等。
上圖 :
向量加法 ,
v
+
w
{\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {w} }
:
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
同
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
兩個向量加埋。
下圖 :
純量乘法 ,
2
⋅
w
{\displaystyle 2\cdot \mathbf {w} }
:向量
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
乘 2 呢個純量;同埋向量加法,
v
+
2
⋅
w
{\displaystyle \mathbf {v} +2\cdot \mathbf {w} }
。
由
O
{\displaystyle {\text{O}}}
去
P
{\displaystyle {\text{P}}}
嘅位移可以想像成「
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle ({\text{x}},{\text{y}},{\text{z}})}
」呢個向量-「沿
X
{\displaystyle {\text{X}}}
軸移
x
{\displaystyle {\text{x}}}
咁遠、沿
Y
{\displaystyle {\text{Y}}}
軸移
y
{\displaystyle {\text{y}}}
咁遠、沿
Z
{\displaystyle {\text{Z}}}
軸移
z
{\displaystyle {\text{z}}}
咁遠」。
向量係由長度 同方向組成嘅數學物體 ,喺三維空間 (一般正常人類環境)嘅情況下,一個向量可以想像成包含咗三個數 ,表示個向量喺三條軸分別數值係幾多,例子:一個喺三維空間表示兩點之間嘅位移 嘅向量會包含三個數
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}
,三個數分別表示沿 X 軸 嘅位移(
a
1
{\displaystyle a_{1}}
)、沿 Y 軸 嘅位移(
a
2
{\displaystyle a_{2}}
)同沿 Z 軸 嘅位移(
a
3
{\displaystyle a_{3}}
)。响物理學 上,向量可以攞嚟表達好多物理量 ,例如牛頓力學 上嘅分析就好興將位移 同速度 噉嘅物理量想像成向量[2] [3] 。
因為向量咁有用,向量空間喺廿一世紀嘅數學 、科學 同工程學 上係一樣重要嘅知識:向量空間係綫性代數 (linear algebra)研究嘅基本對象,數學家 會思考向量空間嘅數學特性,理解可以對向量作出點樣嘅運算 ,而呢啲研究得出嘅定理 除咗滿足到理論性嘅好奇之外,仲有助科學家 同工程師 分析佢哋領域上遇到嘅問題[4] 。例如牛頓力學將位移同速度等嘅物理量想像成向量,並且靠呢啲概念分析物體 點樣郁動 ,分析過程會用到數學上對「向量之間可以作出乜嘢運算」(向量空間研究會關注嘅一樣嘢)嘅知識,而呢啲力學分析跟手又對工程學有用,可以攞嚟分析汽車 加速 等嘅現象[2] 。
喺呢篇文入面,大部分時候會用E, F, K代表一個場 (field),V, W代表一個向量空間,a, b代表純量未知數,u , v , w 代表向量未知數[nb 1] [5] 。
用
K
{\displaystyle K}
嚟表示一個場 ,場簡單嚟講即係做到加減乘除嘅數學結構,例如實數
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、複數
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、有限場
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
等。
一個
K
{\displaystyle K}
-向量空間
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
就係一個三元組
V
=
(
V
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle {\mathcal {V}}=(V,+,\cdot )}
,當中:
V
{\displaystyle V}
係一個非空集 ,入面嘅元素叫做向量;
+
:
V
×
V
→
V
{\displaystyle +:V\times V\to V}
係一個函數,叫做向量加法;
⋅
:
K
×
V
→
V
{\displaystyle \cdot :K\times V\to V}
係另一個函數,叫做純量乘法。
佢哋要符合以下嘅條件[6] [7] :
(
V
,
+
)
{\displaystyle (V,+)}
係一個阿貝爾羣 (abelian group),即係話:
∃
0
∈
V
{\displaystyle \exists \mathbf {0} \in V}
令
v
+
0
=
0
+
v
=
v
∀
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {v} =\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V}
(存在加法單位 additive identity)
∀
v
∈
V
∃
(
−
v
)
∈
V
{\displaystyle \forall \mathbf {v} \in V\quad \exists (-\mathbf {v} )\in V}
令
v
+
(
−
v
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} +(-\mathbf {v} )=\mathbf {0} }
(存在加法逆元 additive inverse)
u
+
(
v
+
w
)
=
(
u
+
v
)
+
w
∀
u
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} \quad \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}
(結合律 )
u
+
v
=
v
+
u
∀
u
,
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {u} \quad \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}
(交換律 )
純量乘法符合:
a
⋅
(
b
⋅
v
)
=
(
a
⋅
b
)
⋅
v
∀
a
,
b
∈
K
∀
v
∈
V
{\displaystyle a\cdot (b\cdot \mathbf {v} )=(a\cdot b)\cdot \mathbf {v} \quad \forall a,b\in K\;\forall \mathbf {v} \in V}
,當中左邊兩個點都係純量乘法,即係純量乘向量;右邊括號入面嗰點係場入面嘅乘法,即係純量乘純量。
1
⋅
v
=
v
∀
v
∈
V
{\displaystyle 1\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V}
,當中
1
{\displaystyle 1}
係場 入面嘅乘法單位 。
分配性質 :
a
⋅
(
v
+
w
)
=
a
⋅
v
+
a
⋅
w
∀
a
∈
K
∀
v
,
w
∈
V
{\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=a\cdot \mathbf {v} +a\cdot \mathbf {w} \quad \forall a\in K\;\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}
(
a
+
b
)
⋅
v
=
a
⋅
v
+
b
⋅
v
∀
a
,
b
∈
K
∀
v
∈
V
{\displaystyle (a+b)\cdot \mathbf {v} =a\cdot \mathbf {v} +b\cdot \mathbf {v} \quad \forall a,b\in K\;\forall \mathbf {v} \in V}
我哋同樣可以定義向量減法同純量除法,做法係透過逆元 :
u
−
v
:=
u
+
(
−
v
)
{\displaystyle \mathbf {u} -\mathbf {v} :=\mathbf {u} +(-\mathbf {v} )}
u
a
:=
1
a
u
{\displaystyle {\dfrac {\mathbf {u} }{a}}:={\dfrac {1}{a}}\mathbf {u} }
由上面嘅定義,可以推導出一啲常用嘅性質,例如一支向量
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
嘅加法逆元
−
v
{\displaystyle -\mathbf {v} }
係唯一嘅;又或者
a
v
=
0
⟺
a
=
0
or
v
=
0
{\displaystyle a\mathbf {v} =0\iff a=0{\text{ or }}\mathbf {v} =0}
,當中
a
{\displaystyle a}
係純量,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
係向量,或者掉轉嚟講,非零純量同非零向量乘埋一齊唔會得到零向量。
内文:代數學歷史
向量空間嘅概念起源於仿射幾何學 (affine geometry),透過喺二維同三維空間到用座標嚟表示啲點。大約 1636 年嗰陣,法國數學家笛卡兒 同埋費馬 透過聯繫二元方程式同埋平面曲線,爲分析幾何學奠基[8] 。喺 1804 年,爲咗唔用座標嚟得到幾何上嘅答案,Bolzano 引入咗一啲點、線同面上嘅一啲操作,呢個就係向量嘅前身[9] 。之後喺 1827 年莫比烏斯 提出嘅重心座標 (barycentric coordinates)亦都用到呢啲操作[10] 。向量嘅定義嘅基礎喺 Bellavitis 嘅「雙點記號」,佢係有向線段,一邊係原點 ,另一邊係目標點。之後,Argand 同 Hamilton 考慮用向量嚟表示複數 同埋四元數 (quaternion)[11] 。佢哋可以被睇做
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
同
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
入面嘅元素。
喺 1857 年,Cayley 引入矩陣 記號,大大簡化咗線性映射 嘅運算,喺同一段時間,Grassmann 研究莫比烏斯開創嘅重心演算[12] ,喺佢嘅成果入面,見到線性獨立 、維度 同埋純量乘法 嘅概念。事實上 Grassmann 1844 年嘅成果唔單止包含向量,因爲佢仲考慮埋向量乘法,呢種結構依家叫做代數 (algebra)。意大利數學家 Peano 喺 1888 年第一個畀出現代嘅向量空間同線性映射嘅定義[13] 。
向量空間一個好重要嘅發展係由 Henri Lebesgue 構作嘅函數空間 ,呢個概念喺大約 1920年由 Banach 同 Hilbert 正式定義[14] ;同一時間,代數同新興嘅泛函分析 (functional analysis)開始互相影響,主要嘅發展有 p -可積函數 同埋 Hilbert 空間 [15] ;同一時期,數學家做咗初步嘅無限維向量空間 嘅研究。
複數同場擴張
複數 可以視爲一個實向量空間,當中:
向量加法:
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
∀
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\quad \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} }
純量乘法:
c
⋅
(
a
+
b
i
)
=
(
c
a
)
+
(
c
b
)
i
∀
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle c\cdot (a+bi)=(ca)+(cb)i\quad \forall a,b,c\in \mathbb {R} }
好容易就可以檢查到佢哋啱返向量空間嘅公理。
事實上,只考慮
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
-向量空間嘅結構嘅話,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
同
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
係「一樣」(同構 )嘅,當中
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
入面嘅
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
對應
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
入面嘅
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
。
更一般嚟講,場擴張 畀咗我哋好多向量空間嘅例子:假設
F
/
E
{\displaystyle F/E}
係一個場擴張,噉
F
{\displaystyle F}
就係一個
E
{\displaystyle E}
-向量空間,向量加法同純量乘法都係用返
F
{\displaystyle F}
入面嘅加法同乘法[17] 。例如
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
係一個
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
-向量空間,
Q
(
i
5
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (i{\sqrt {5}})}
係一個
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
-向量空間。
函數空間
畀咗一個集合
Ω
{\displaystyle \Omega }
,所有由
Ω
{\displaystyle \Omega }
打去
F
{\displaystyle F}
嘅函數 組成一個
F
{\displaystyle F}
-向量空間;又或者推廣一步,如果
V
{\displaystyle V}
係一個
F
{\displaystyle F}
-向量空間嘅話,所有由
Ω
{\displaystyle \Omega }
打去
V
{\displaystyle V}
嘅函數 都會組成一個
F
{\displaystyle F}
-向量空間,當中向量加法同純量乘法都係逐點逐點做嘅,即係話:
(
f
+
g
)
(
x
)
:=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
∀
x
∈
Ω
{\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\quad \forall x\in \Omega }
(
a
f
)
(
x
)
:=
a
(
f
(
x
)
)
∀
a
∈
F
∀
x
∈
Ω
{\displaystyle (af)(x):=a(f(x))\quad \forall a\in F\;\forall x\in \Omega }
喺分析 同幾何 入面,個
Ω
{\displaystyle \Omega }
可能係實數線、區間、拓樸空間 或者流形 入面嘅開集 等等。
好多分析入面嘅性質,例如連續性、可積、可微,都會喺加法同埋純量乘法當中得到保留,所以呢啲函數組成嘅集會都係向量空間[18] ,例如:
區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上面嘅連續函數 :
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle C[a,b]}
區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上面嘅連續可微函數 :
C
1
[
a
,
b
]
{\displaystyle C^{1}[a,b]}
區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
上面嘅光滑函數 :
C
∞
[
a
,
b
]
{\displaystyle C^{\infty }[a,b]}
一支
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
入面嘅向量
v
{\displaystyle v}
(藍色),用唔同嘅基嚟表示:用標準基嘅話,
v
=
x
e
1
+
y
e
2
{\displaystyle v=xe_{1}+ye_{2}}
(黑色),用另一個唔正交嘅基():)
v
=
f
1
+
f
2
{\displaystyle v=f_{1}+f_{2}}
(紅色)
基(basis)容許我哋用一個純量數列 去表達啲向量,而啲純量就叫做座標 或者分量 。基係一個既可以生成成個空間而又係線性獨立 嘅向量集
B
=
{
b
i
}
i
∈
I
{\displaystyle B=\{b_{i}\}_{i\in I}}
。生成成個空間指嘅係任何一支向量
v
{\displaystyle v}
都可以寫做啲基向量嘅線性組合 :
v
=
a
1
b
i
1
+
a
2
b
i
2
+
⋯
+
a
n
b
i
n
{\displaystyle v=a_{1}b_{i_{1}}+a_{2}b_{i_{2}}+\cdots +a_{n}b_{i_{n}}}
其中啲
a
k
{\displaystyle a_{k}}
係純量,
b
i
k
{\displaystyle b_{i_{k}}}
係
B
{\displaystyle B}
入面嘅向量。線性獨立(亦即係線性嘸相關)係指呢種寫法係唯一嘅,亦即係話呢啲
a
k
{\displaystyle a_{k}}
只有一種選擇。
舉個例,喺
F
n
{\displaystyle F^{n}}
入面我哋有一個基叫做標準基 ,佢係由
e
i
{\displaystyle e_{i}}
組成,
i
=
1
,
2
,
…
n
{\displaystyle i=1,2,\ldots n}
:
e
1
=
(
1
,
0
,
…
,
0
)
e
2
=
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
e
n
=
(
0
,
…
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\e_{2}&=(0,1,0,\ldots ,0)\\e_{n}&=(0,\ldots ,0,1)\end{aligned}}}
係噉任何向量
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
都可以唯一噉寫成佢哋個線性組合:
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
1
(
1
,
0
,
…
,
0
)
+
x
2
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
+
⋯
+
x
n
(
0
,
…
,
0
,
1
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}(1,0,\ldots ,0)+x_{2}(0,1,0,\ldots ,0)+\cdots +x_{n}(0,\ldots ,0,1)}
其中,對應嘅
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
就係笛卡兒座標 。
喺 Zermelo-Fraenkel集合論 入面,「任何向量空間都有最少一個基」係同選擇公理 等價嘅,而通常會用另一個同選擇公理等價嘅Zorn's引理 去證明任何向量空間都有基[19] [20] 。超濾子引理 (弱過選擇公理嘅假設)可以證明如果一個向量空間有唔同嘅基嘅話,呢啲基嘅基數 係一樣嘅[21] 。呢個基數就得定義做向量空間嘅維度 。如果個向量空間係由有限支向量生成嘅話,以上兩個結果唔需要選擇公理同埋超濾子引理,只需要 Zermelo-Fraenkel集合論就得[22] 。
由以上
F
n
{\displaystyle F^{n}}
嘅基嘅例子可以睇到佢嘅維度係 n。多項式環
F
[
x
]
{\displaystyle F[x]}
嘅維度係可數有限,其中一個基係
1
,
x
,
x
2
,
…
{\displaystyle 1,x,x^{2},\ldots }
。好多函數空間嘅例子似
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle C[a,b]}
、
C
1
[
a
,
b
]
{\displaystyle C^{1}[a,b]}
、
C
∞
[
a
,
b
]
{\displaystyle C^{\infty }[a,b]}
,佢哋嘅維度都係唔可數無限 嘅[nb 2] 。畀有一條齊次微分方程 ,如果啲系數夠光滑嘅話,解空間嘅維度同條微分方程嘅度數係一樣嘅[23] ,例如
f
″
(
x
)
+
2
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f''(x)+2f'(x)+f(x)=0}
嘅解空間係由
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
同
x
e
−
x
{\displaystyle xe^{-x}}
生成嘅二維函數空間。
上面提過,場擴張
E
/
F
{\displaystyle E/F}
可以睇成
E
{\displaystyle E}
係
F
{\displaystyle F}
-向量空間,如果我哋考慮單擴張
F
(
α
)
/
F
{\displaystyle F(\alpha )/F}
嘅話,佢嘅維度取決於
α
{\displaystyle \alpha }
。如果
α
{\displaystyle \alpha }
係
F
{\displaystyle F}
上面嘅代數數 嘅話,噉即係話
α
{\displaystyle \alpha }
會符合一條最細多項式
x
n
+
f
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
f
0
=
0
{\displaystyle x^{n}+f_{n-1}x^{n-1}+\cdots +f_{0}=0}
,當中
f
i
∈
F
{\displaystyle f_{i}\in F}
,噉
F
(
α
)
{\displaystyle F(\alpha )}
嘅
F
{\displaystyle F}
維度就係
n
{\displaystyle n}
喇(
dim
F
(
F
(
α
)
)
=
n
{\displaystyle \dim _{F}(F(\alpha ))=n}
)[24] 。舉個例,
C
=
R
(
i
)
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i)}
,而
i
{\displaystyle i}
嘅最細多項式係
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
,所以
dim
R
C
=
2
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =2}
。如果
α
{\displaystyle \alpha }
唔係代數數嘅話,噉啫係佢係超越數 ,噉嘅話
F
(
α
)
≅
F
(
x
)
{\displaystyle F(\alpha )\cong F(x)}
,當中
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
係
F
{\displaystyle F}
上面嘅有理函數,呢個情況個維度係可數無限 嘅[25] 。
矩陣
一個矩陣
矩陣(matrix)係一個好方便嘅方法去描述一個線性映射[33] ,佢寫出嚟就係一個長方形陣列嘅數字,好似右圖噉。任何一個m乘n嘅矩陣都可以透過以下方法定義出一個
F
n
→
F
m
{\displaystyle F^{n}\to F^{m}}
嘅線性映射:
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
↦
(
∑
j
=
1
n
a
1
j
x
j
,
∑
j
=
1
n
a
2
j
x
j
,
…
,
∑
j
=
1
n
a
m
j
x
j
)
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}
或者用矩陣乘法嘅話,
x
↦
A
x
{\displaystyle x\mapsto Ax}
。另一方面,任意嘅線性映射
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\to W}
,只要幫
V
{\displaystyle V}
同
W
{\displaystyle W}
揀一個基,都可以用矩陣嘅形式去表達出來[34] 。
一個方形矩陣
A
{\displaystyle A}
嘅行列式
det
(
A
)
{\displaystyle \det(A)}
可以話畀我哋知某個對應嘅線性映射係唔係同構:佢係同構若且唯若行列式唔係
0
{\displaystyle 0}
[35] 。一個實向量空間上面嘅線性映射要保持定向 ,若且唯若佢嘅行列式係正數。
張量積
展示張量積 萬有性質 嘅交換圖 。
兩個 F-向量空間
V
{\displaystyle V}
同
W
{\displaystyle W}
嘅張量積 (tensor product)
V
⊗
F
W
{\displaystyle V\otimes _{F}W}
(或者如果好清楚係邊個場 嘅話可以唔寫:
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
)係喺多重線性代數 入面一個好重要嘅構作。一個映射
g
:
V
×
W
→
X
{\displaystyle g:V\times W\to X}
叫得做雙線性 若且唯若 佢對兩個輸入都係線性嘅;即係話,固定一個
w
{\displaystyle w}
,
v
↦
g
(
v
,
w
)
{\displaystyle v\mapsto g(v,w)}
係線性映射,反之亦然。
張量積
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
係雙線性映射嘅「萬有 物件」,佢係以下形式嘅「張量和」組成嘅向量空間:
v
1
⊗
w
1
+
v
2
⊗
w
2
+
…
v
n
⊗
w
n
{\displaystyle v_{1}\otimes w_{1}+v_{2}\otimes w_{2}+\ldots v_{n}\otimes w_{n}}
(n 係任意正整數,
v
i
∈
V
{\displaystyle v_{i}\in V}
,
w
i
∈
W
{\displaystyle w_{i}\in W}
)
當中
⊗
{\displaystyle \otimes }
運算符合以下規則:
a
⋅
(
v
⊗
w
)
=
(
a
⋅
v
)
⊗
w
=
v
⊗
(
a
⋅
w
)
∀
a
∈
F
,
v
∈
V
,
w
∈
W
{\displaystyle a\cdot (v\otimes w)=(a\cdot v)\otimes w=v\otimes (a\cdot w)\quad \forall a\in F,v\in V,w\in W}
(
v
1
+
v
2
)
⊗
w
=
v
1
⊗
w
+
v
2
⊗
w
∀
v
1
,
v
2
∈
V
,
w
∈
W
{\displaystyle (v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w\quad \forall v_{1},v_{2}\in V,w\in W}
v
⊗
(
w
1
+
w
2
)
=
v
⊗
w
1
+
v
⊗
w
2
∀
v
∈
V
,
w
1
,
w
2
∈
W
{\displaystyle v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}\quad \forall v\in V,w_{1},w_{2}\in W}
[46]
呢啲規則確保咗
f
:
V
×
W
→
V
⊗
W
{\displaystyle f:V\times W\to V\otimes W}
,
f
(
v
,
w
)
=
v
⊗
w
{\displaystyle f(v,w)=v\otimes w}
係雙線性嘅。萬有性質係指對任何雙線性映射
g
:
V
×
W
→
X
{\displaystyle g:V\times W\to X}
,都有一個唯一嘅線性映射 u 符合
g
=
u
∘
f
{\displaystyle g=u\circ f}
,亦即係令到右圖係「交換 」嘅[47] 。呢一種用萬有性質嚟定義物件嘅做法喺抽象代數 入面係好常見嘅。
賦範向量空間同內積空間
本身一個向量空間入面,我哋係冇得講出一支向量嘅「長度」嘅,但係如果向量空間有一個範數 (norm)定義咗嘅話就可以喇;而如果向量空間有定義到內積 (inner product)嘅話,我哋甚至可以講出向量之間嘅角度 。通常會用
|
v
|
{\displaystyle |v|}
同
⟨
v
,
w
⟩
{\displaystyle \langle v,w\rangle }
嚟表示範數同埋內積;而如果一個向量空間上面有內積嘅話,就可以定義一個自然嘅範數:
|
v
|
:=
⟨
v
,
v
⟩
{\displaystyle |v|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}
。呢啲有額外結構嘅向量空間就分別叫做賦範向量空間同埋內積空間喇[48] 。
對任何正整數 n 同埋實數 p>1,可以定義賦範向量空間
F
p
n
(
F
=
R
or
C
)
{\displaystyle F_{p}^{n}(F=\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} )}
:
|
(
x
1
,
…
,
x
n
)
|
=
|
x
1
|
p
+
…
+
|
x
n
|
p
p
{\displaystyle |(x_{1},\ldots ,x_{n})|={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}}}}
對任何正整數 n,可以定義內積空間
F
n
(
F
=
R
or
C
)
{\displaystyle F^{n}(F=\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} )}
:
⟨
x
,
y
⟩
=
x
1
y
1
¯
+
…
+
x
n
y
n
¯
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\bar {y_{1}}}+\ldots +x_{n}{\bar {y_{n}}}}
係
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
入面,我哋有餘弦公式 :
cos
(
∠
(
x
,
y
)
)
=
x
⋅
y
|
x
|
|
y
|
{\displaystyle \cos(\angle (x,y))={\dfrac {x\cdot y}{|x||y|}}}
所以喺其他內積空間,我哋可以用呢條式去推廣角度嘅定義;x 同 y 正交若且唯若
⟨
x
,
y
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,y\rangle =0}
。內積空間有一個好重要嘅變體,叫做Minkowski時空 :
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
,賦予 Lorentz積 :
⟨
x
|
y
⟩
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
x
3
y
3
−
x
4
y
4
{\displaystyle \langle x|y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}}
[49]
同內積唔同,Lorentz積唔係正定 嘅:
⟨
x
|
x
⟩
{\displaystyle \langle x|x\rangle }
可以係負數,例如
x
=
(
0
,
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle x=(0,0,0,1)}
。將第四個座標睇做時間 ,頭三個睇做空間 ,噉樣可以睇得出個 Minkowski時空對狹義相對論 嘅數學運算好有幫助。
拓撲向量空間
喺一個向量空間入面,定義咗點樣將兩支向量加埋一齊;佮埋加法嘅結合性質,可以定義點樣將有限支向量加埋一齊:可以定義
∑
i
=
1
n
v
i
=
v
1
+
(
∑
i
=
2
n
v
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}=v_{1}+\left(\sum _{i=2}^{n}v_{i}\right)}
,因爲有結合性質,加咗邊兩支先係無分別嘅:
v
1
+
(
v
2
+
(
v
3
+
v
4
)
)
=
(
(
v
1
+
v
2
)
+
v
3
)
+
v
4
=
(
v
1
+
v
2
)
+
(
v
3
+
v
4
)
{\displaystyle v_{1}+(v_{2}+(v_{3}+v_{4}))=((v_{1}+v_{2})+v_{3})+v_{4}=(v_{1}+v_{2})+(v_{3}+v_{4})}
但係講到話想加埋無限支向量,噉個向量空間就一定要有一個拓撲結構 喇,因爲噉先可以講級數 嘅收斂性 [50] [51] 。一般我哋都要求呢個拓撲結構同向量加法同埋純量乘法係相容嘅;粗略噉講,如果
u
,
v
∈
V
,
a
∈
F
{\displaystyle u,v\in V,a\in F}
改變少少嗰陣,
u
+
v
,
a
v
{\displaystyle u+v,av}
都唔應該改變太多。想描述純量嘅改變嘅話,個場
F
{\displaystyle F}
都要有一個拓撲結構,即係話
F
{\displaystyle F}
係一個拓撲場 。好多時
F
{\displaystyle F}
都係
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或者
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
,帶住平時嗰個拓撲結構。
噉樣喺拓撲向量空間入面,我哋可以講一個級數嘅收斂性:定義
∑
i
=
0
∞
v
i
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}}
做
lim
n
→
∞
∑
i
=
0
n
v
i
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}v_{i}}
(如果收斂嘅話),例如
v
i
{\displaystyle v_{i}}
可以係某個函數空間入面嘅函數;噉嘅情況呢個級數就係函數級數 ,收斂模式 同向量空間嘅拓撲結構有關,例如逐點收斂 同一致收斂 對應住唔同嘅拓撲結構。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
入面唔同嘅 p-範數 之中嘅「1-球體」
{
x
|
|
x
|
=
1
}
{\displaystyle \{x{\Big \vert }|x|=1\}}
,最大黃色嗰個係 1-範數入面嘅「2-球體」。
一個確保向量空間有足夠多嘅極限嘅方法係淨係考慮某一種空間,佢嘅柯西列 一定有極限 ;呢種向量空間叫做完備 。舉個例,單位區間 [0, 1] 上面嘅多項式函數 組成一個向量空間,如果佢帶住一致收斂拓撲嘅話,佢就係唔完備嘅,因爲根據 Stone-Weierstrass定理 所有 [0, 1] 上面嘅連續函數 都可以由多項式函數一致噉逼近[52] 。相反,[0, 1] 上面嘅連續函數就係一個完備空間喇[53] 。一個賦範向量空間會自動帶有一個拓撲結構,定義係
v
n
→
v
⇔
|
v
n
−
v
|
→
0
{\displaystyle v_{n}\to v\Leftrightarrow |v_{n}-v|\to 0}
。
Banach空間 同Hilbert空間 係完備嘅拓撲向量空間,佢哋嘅拓撲結構分別係由範數同埋內積帶嚟嘅。泛函分析 入面我哋會研究呢兩種空間,主要研究無限維空間,因爲有限維上面所有範數畀嘅拓撲結構都係一樣嘅,所有數列嘅收斂條件都係一樣嘅[54] 。右圖展示出 1-範數同
∞
{\displaystyle \infty }
-範數係等價嘅:
∞
{\displaystyle \infty }
-範數嘅「1-球體」包住 1-範數嘅「1-球體」,而 1-範數嘅「2-球體」又包返住
∞
{\displaystyle \infty }
-範數嘅「1-球體」,即係展示出佢哋嘅拓撲結構係一樣嘅。喺無限維入面,一般嚟講會有好多種唔同嘅拓撲結構,例如
L
p
(
R
)
{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}
同
L
q
(
R
)
(
p
≠
q
)
{\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )(p\neq q)}
係唔同嘅,所以研究呢啲唔同嘅拓撲係一個有趣嘅課題。
概念上嚟講,所有同拓撲向量空間有關嘅概念都應該同個拓撲結構係相容嘅;例如考慮線性映射嗰陣,我哋會考慮拓撲向量空間之間嘅連續線性映射[55] 。舉個特例,拓撲對偶空間
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
係所有
V
→
R
{\displaystyle V\to \mathbb {R} }
(或者
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)嘅連續線性映射(或者叫連續泛函 )。Hahn-Banach定理 係泛函分析入面嘅一條基礎定理,展示出任何嘅賦範向量空間入面都有足夠嘅泛函畀我哋去研究[56] 。
Banach空間
Banach空間(Banach space)由 Stefan Banach 定義,亦都因爲噉以佢嚟命名,係指完備 嘅賦範向量空間[57] 。
第一個例子係
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
空間。首先對無限向量
x
=
(
x
0
,
x
1
,
…
)
{\displaystyle x=(x_{0},x_{1},\ldots )}
定義 p -範數 (場 係
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
,
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
):
p
<
∞
{\displaystyle p<\infty }
嘅話
|
|
x
|
|
p
:=
(
∑
i
|
x
i
|
p
)
1
p
{\displaystyle ||x||_{p}:=\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
,
|
|
x
|
|
∞
=
sup
i
|
x
i
|
{\displaystyle ||x||_{\infty }=\sup _{i}|x_{i}|}
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
空間就係由有有限 p-範數嘅向量組成嘅向量空間。
對於唔同嘅 p ,
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
空間嘅拓撲 係唔同嘅,例如
x
n
=
(
2
−
n
,
2
−
n
,
…
,
2
−
n
⏟
2
n
,
0
,
0
,
…
)
{\displaystyle x_{n}=(\underbrace {2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n}} _{2^{n}},0,0,\ldots )}
就同時喺
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
同埋
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
空間入面。但係喺
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
入面佢嘅極限係 0 向量,而喺
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
入面佢就唔收斂:
‖
x
n
‖
∞
=
sup
(
2
−
n
,
0
)
=
2
−
n
→
0
{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{_{\infty }}=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\rightarrow 0}
,但
‖
x
n
‖
1
=
∑
i
=
1
2
n
2
−
n
=
2
n
⋅
2
−
n
=
1
{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1}
推而廣之,如果
Ω
⊂
R
n
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
係一個區域 ,上面有 Lebesgue 積分 ,噉我哋可以定義一個 p-範數:
‖
f
‖
p
:=
(
∫
Ω
|
f
(
x
)
|
p
d
μ
(
x
)
)
1
p
{\displaystyle \left\Vert {f}\right\Vert _{p}:=\left(\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}\right)^{\frac {1}{p}}}
L
p
(
Ω
)
{\displaystyle L^{p}(\Omega )}
就係由有有限 p-範數嘅函數 組成嘅向量空間,叫做 Lebesgue空間 [nb 6] 。呢啲空間係完備 嘅[58] (如果用 Riemann積分 就唔完備,呢個亦係其中一個原因高等數學分析 要用 Lebesgue積分,唔用 Riemann積分[nb 7] )。
完備嘅意思即係,對任何
L
p
(
Ω
)
{\displaystyle L^{p}(\Omega )}
入面嘅函數列
f
1
,
f
2
,
…
,
f
n
,
…
{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots }
,
|
|
f
n
|
|
p
<
∞
{\displaystyle ||f_{n}||_{p}<\infty }
,並符合 Cauchy條件 :
lim
k
,
n
→
∞
∫
Ω
|
f
k
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
p
d
μ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0}
都存在一個函數
f
∈
L
p
(
Ω
)
{\displaystyle f\in L^{p}(\Omega )}
令到
lim
k
→
∞
∫
Ω
|
f
(
x
)
−
f
k
(
x
)
|
p
d
μ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)-{f}_{k}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0}
如果我哋唔單止要求函數係有界嘅,仲要求埋佢嘅導數都係有界嘅,噉我哋就得到 Sobolev空間 喇[59] 。
場上代數
x
y
=
1
{\displaystyle xy=1}
所表示嘅雙曲線 ,佢嘅座標環 係
R
[
x
,
y
]
/
(
x
y
−
1
)
{\displaystyle \mathbb {R} [x,y]/(xy-1)}
,一個無限維嘅實向量空間。
一般嘅向量空間係冇定義點樣將兩支向量乘埋嘅,而如果有嘅話(而且符合一啲相容性嘅公理)就叫做一個場上代數 (algebra over a field),或者就噉代數 [68] 。好多代數係嚟自一啲幾何物體 上邊嘅函數 ,因爲呢啲函數可以逐點逐點乘埋一齊。例如 Stone-Weierstrass 定理 就係同 Banach 代數 有關嘅,啫係佢又係代數又係 Banach空間 。
交換代數 入面成日都會研究單參數或者多參數嘅多項式環 ,佢哋嘅乘法係交換 同埋結合 嘅;呢啲環同埋佢哋嘅商 係研究代數幾何 嘅基本部分,因爲佢哋就係幾何物件上面嘅函數空間 [69] 。
另一個例子係李代數 ,佢嘅乘法(一般叫做李括號 )又唔交換又唔結合,但係要求符合另外兩條式(
[
x
,
y
]
{\displaystyle [x,y]}
表示
x
{\displaystyle x}
同
y
{\displaystyle y}
嘅乘積):
[
x
,
y
]
=
−
[
y
,
x
]
{\displaystyle [x,y]=-[y,x]}
(反交換律 )
[
x
,
[
y
,
z
]
]
+
[
y
,
[
z
,
x
]
]
+
[
z
,
[
x
,
y
]
]
=
0
{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}
(Jacobi等式 )[70]
例子包括對於
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
矩陣,李括號就係交換子
[
x
,
y
]
=
x
y
−
y
x
{\displaystyle [x,y]=xy-yx}
(右邊係普通矩陣乘法 );同埋對於
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
,李括號係外積 。
張量代數 係一個形式上嘅方法將任何嘅向量空間變成一個代數嘅[71] 。作爲一個向量空間,佢係由「簡單張量 」(或者叫「純張量」)
v
1
⊗
v
2
⊗
…
⊗
v
n
{\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \ldots \otimes v_{n}}
生成嘅(
n
{\displaystyle n}
唔係固定嘅),而乘法就係將佢哋「連埋一齊」:
(
v
1
⊗
v
2
⊗
…
⊗
v
n
)
⊗
(
u
1
⊗
u
2
⊗
…
⊗
u
m
)
=
v
1
⊗
v
2
⊗
…
⊗
v
n
⊗
u
1
⊗
u
2
⊗
…
⊗
u
m
{\displaystyle (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \ldots \otimes v_{n})\otimes (u_{1}\otimes u_{2}\otimes \ldots \otimes u_{m})=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \ldots \otimes v_{n}\otimes u_{1}\otimes u_{2}\otimes \ldots \otimes u_{m}}
並且要求佢同純量乘法同向量加法相容。一般嚟講
v
1
⊗
v
2
{\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}
同
v
2
⊗
v
1
{\displaystyle v_{2}\otimes v_{1}}
係冇關係嘅,如果(透過取商 )要求佢哋一樣嘅話,就得到對稱代數 ;而如果要求
v
1
⊗
v
2
=
−
v
2
⊗
v
1
{\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}=-v_{2}\otimes v_{1}}
嘅話,噉就得到外代數 [72] 。
有時我哋會叫 F 上嘅代數做 F-代數。
微分幾何
2-球體喺一點上面嘅切平面
喺一幅曲面 上面,一點嘅切平面 (tangent space)係一個向量空間,當中個原點 對應住切平面同曲面嘅接觸點嘅。切平面係喺嗰一點附近,對幅曲面最好嘅線性近似[nb 11] 。就算係嵌入 咗三維空間 入面嘅曲面,一般嚟講切平面都係無一個特別嘅、優先嘅基嘅,所以切平面一般都係用一個抽象嘅向量空間嚟描述,而唔係一個實向量空間
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
。而切空間就係將呢一個概念推廣去更高維嘅可微流形 上面[89] 。
黎曼流形 係一種可微流形,上面每一個切空間都有一個適當嘅內積 [90] ;由呢個內積可以計算出黎曼曲率張量 ,佢蘊含住成個流形每一點嘅曲率資訊,對廣義相對論 好有用,例如愛因斯坦曲率張量 描述咗時空 入面嘅能量 同埋質量 [91] [92] 。
另外,李羣 入面嘅切空間好自然噉形成咗一個李代數 ,可以用嚟分類緊緻李羣 [93] 。
(無限延長嘅)莫比烏斯帶 係圓
S
1
{\displaystyle S^{1}}
上嘅一個向量叢 ,局部嚟睇,每一點附近佢都好似直積
U
×
R
{\displaystyle U\times \mathbb {R} }
,但係成個空間就唔係直積
S
1
×
R
{\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }
。
Alonso, M.; Finn, J. (1992). Fundamental University Physics . Addison-Wesley.
Feynman, Richard (1999). The Feynman Lectures on Physics . Perseus Publishing.
Lang, Serge (1987), Linear algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag,
Weisstein, Eric W. "Vector Space" . mathworld.wolfram.com (英文). 喺2020-08-23 搵到 .
Bourbaki 1969 , ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91 .
Lang 1993 , ch. XII.3., p. 335
Roman 2005 , Theorem 1.9, p. 43
Halpern 1966 , pp. 670–673
Artin 1991 , Theorem 3.3.13
Braun 1993 , Th. 3.4.5, p. 291
Stewart 1975 , Proposition 4.3, p. 52
Stewart 1975 , Theorem 6.5, p. 74
Lang 1987 , ch. IV.4, Corollary, p. 106
Lang 1987 , Example IV.2.6
Halmos 1974 , p. 28, Ex. 9
Lang 1987 , Theorem IV.2.1, p. 95
Roman 2005 , Th. 2.5 and 2.6, p. 49
Lang 1987 , ch. V.3., Corollary, p. 106
Lang 1987 , Theorem VII.9.8, p. 198
Roman 2005 , ch. 8, p. 135–156
Roman 2005 , ch. 8, p. 140 .
Roman 2005 , ch. 1, pp. 31–32
Choquet 1966 , Proposition III.7.2
Lang 1983 , Cor. 4.1.2, p. 69
Treves 1967 , Theorem 11.2, p. 102
Dennery & Krzywicki 1996 , p.190
Lang 1993 , Th. XIII.6, p. 349
Choquet 1966 , Lemma III.16.11
Kreyszig 1999 , Chapter 11
Griffiths 1995 , Chapter 1
Lang 2002 , ch. III.1, p. 121
Gasquet & Witomski 1999 , p. 150
Gasquet & Witomski 1999 , p. 57
Gasquet & Witomski 1999 , p. 67
Ifeachor & Jervis 2001 , pp. 3–4, 11
Ifeachor & Jervis 2001 , p. 132
Gasquet & Witomski 1999 , §10.2
Ifeachor & Jervis 2001 , pp. 307–310
Gasquet & Witomski 1999 , §10.3
Schönhage & Strassen 1971
Jost 2005 . 睇埋Lorentzian 流形 .
Misner, Thorne & Wheeler 1973 , ch. 1.8.7, p. 222 and ch. 2.13.5, p. 325
Varadarajan 1974 , ch. 4.3, Theorem 4.3.27
Kreyszig 1991 , §34, p. 108
Meyer 2000 , Example 5.13.5, p. 436
Meyer 2000 , Exercise 5.13.15–17, p. 442
代數
Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
Blass, Andreas (1984), "Existence of bases implies the axiom of choice", Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983) , Contemporary Mathematics,第31卷, Providence, R.I.: American Mathematical Society , pp. 31–33, MR 0763890
Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces , New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Lang, Serge (1987), Linear algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6
Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics ,第211卷 (第Revised third版), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (第3版), pp. 193–222, ISBN 978-0-8218-1646-2
Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8
Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra , Graduate Texts in Mathematics,第135卷 (第2版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-24766-3
Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups , CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (德文) (第9版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56799-8
分析
Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces , Elements of mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9
Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41129-1
Braun, Martin (1993), Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97894-9
BSE-3 (2001), "Tangent plane" , 出自 Hazewinkel, Michiel (編), Encyclopaedia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Choquet, Gustave (1966), Topology , Boston, MA: Academic Press
Dennery, Philippe; Krzywicki, Andre (1996), Mathematics for Physicists , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-69193-0
Dudley, Richard M. (1989), Real analysis and probability , The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6
Dunham, William (2005), The Calculus Gallery , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09565-3
Evans, Lawrence C. (1998), Partial differential equations , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0772-9
Folland, Gerald B. (1992), Fourier Analysis and Its Applications , Brooks-Cole, ISBN 978-0-534-17094-3
Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets , Texts in Applied Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98485-8
Ifeachor, Emmanuel C.; Jervis, Barrie W. (2001), Digital Signal Processing: A Practical Approach (第2版), Harlow, Essex, England: Prentice-Hall (2002出版), ISBN 978-0-201-59619-9
Krantz, Steven G. (1999), A Panorama of Harmonic Analysis , Carus Mathematical Monographs, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-031-2
Kreyszig, Erwin (1988), Advanced Engineering Mathematics (第6版), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-85824-9
Kreyszig, Erwin (1989), Introductory functional analysis with applications , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50459-7 , MR 0992618
Lang, Serge (1983), Real analysis , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-14179-5
Lang, Serge (1993), Real and functional analysis , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94001-4
Loomis, Lynn H. (1953), An introduction to abstract harmonic analysis , Toronto-New York–London: D. Van Nostrand Company, Inc., pp. x+190, hdl :2027/uc1.b4250788
Template:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
Template:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
Treves, François (1967), Topological vector spaces, distributions and kernels , Boston, MA: Academic Press
歷史
Banach, Stefan (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)" (PDF) , Fundamenta Mathematicae (法文), 3 : 133–181, doi :10.4064/fm-3-1-133-181 , ISSN 0016-2736
Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (德文)
Bourbaki, Nicolas (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (法文), Paris: Hermann
Dorier, Jean-Luc (1995), "A general outline of the genesis of vector space theory" , Historia Mathematica , 22 (3): 227–261, doi :10.1006/hmat.1995.1024 , MR 1347828
Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (法文), Chez Firmin Didot, père et fils
Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (德文), O. Wigand , reprint: Grassmann, Hermann (2000), Kannenberg, L.C. (編), Extension Theory , Kannenberg, Lloyd C.翻譯, Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2031-5
Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions , Royal Irish Academy
Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (德文), 原著 喺2006-11-23歸檔
Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica , 22 (3): 262–303, doi :10.1006/hmat.1995.1025
Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (義大利文), Turin
Peano, G. (1901) Formulario mathematico : vct axioms via Internet Archive
更多
Ashcroft, Neil ; Mermin, N. David (1976), Solid State Physics , Toronto: Thomson Learning, ISBN 978-0-03-083993-1
Atiyah, Michael Francis (1989), K-theory , Advanced Book Classics (第2版), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0 , MR 1043170
Bourbaki, Nicolas (1998), Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
Bourbaki, Nicolas (1989), General Topology. Chapters 1-4 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64241-1
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1987), Projective Geometry (第2版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96532-1
Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A proof of the hairy ball theorem", The American Mathematical Monthly , 86 (7): 572–574, doi :10.2307/2320587 , JSTOR 2320587
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra , Graduate Texts in Mathematics,第150卷, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8 , MR 1322960
Goldrei, Derek (1996), Classic Set Theory: A guided independent study (第1版), London: Chapman and Hall , ISBN 978-0-412-60610-6
Griffiths, David J. (1995), Introduction to Quantum Mechanics , Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall , ISBN 978-0-13-124405-4
Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3
Halpern, James D. (Jun 1966), "Bases in Vector Spaces and the Axiom of Choice", Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (3): 670–673, doi :10.2307/2035388 , JSTOR 2035388
Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013), Calculus : Single and Multivariable (第6版), John Wiley & Sons , ISBN 978-0470-88861-2
Husemoller, Dale (1994), Fibre Bundles (第3版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94087-8
Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (第4版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
Kreyszig, Erwin (1991), Differential geometry , New York: Dover Publications , pp. xiv+352, ISBN 978-0-486-66721-8
Kreyszig, Erwin (1999), Advanced Engineering Mathematics (第8版), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-15496-9
Luenberger, David (1997), Optimization by vector space methods , New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-18117-0
Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (第2版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
Misner, Charles W. ; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation , W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
Naber, Gregory L. (2003), The geometry of Minkowski spacetime , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43235-9 , MR 2044239
Schönhage, A. ; Strassen, Volker (1971), "Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Fast multiplication of big numbers)", Computing (德文), 7 (3–4): 281–292, doi :10.1007/bf02242355 , ISSN 0010-485X , S2CID 9738629
Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two) , Houston, TX: Publish or Perish
Stewart, Ian (1975), Galois Theory , Chapman and Hall Mathematics Series, London: Chapman and Hall , ISBN 978-0-412-10800-6
Varadarajan, V. S. (1974), Lie groups, Lie algebras, and their representations , Prentice Hall , ISBN 978-0-13-535732-3
Wallace, G.K. (Feb 1992), "The JPEG still picture compression standard" (PDF) , IEEE Transactions on Consumer Electronics , 38 (1): xviii–xxxiv, CiteSeerX 10.1.1.318.4292 , doi :10.1109/30.125072 , ISSN 0098-3063 , 原著 (PDF) 喺2007-01-13歸檔, 喺2017-10-25 搵到
Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra . Cambridge Studies in Advanced Mathematics.第38卷. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .