二進分數

  呢篇文講分母係2嘅次方嘅分數。想搵2進數（2-adic number）嘅話，請睇P進數。

二進分數（英文：2-adic rationals），又可以叫二進有理數，係指分母係2嘅次方嘅分數。可以寫成${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}}$，當中${\displaystyle a}$係整數，${\displaystyle b}$係正整數。例如${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$、${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$都係二進分數，但係${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$就唔係。英制單位入面成日都用二進分數，例如${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$英寸、${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$英寸、${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$磅等等。

0到1之間嘅二進分數

數學嘅數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 二進分數 有限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 負數 分數 單位分數 無限小數 規矩數 無理數 超越數 二次無理數 虛數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

雙複數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 共四元數 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${\displaystyle {}^{\star }\mathbb {R} }$

其他

對偶數 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 艾禮富數 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = ${\displaystyle +{\sqrt {-1}}}$ 無窮大量 ∞

二進分數組成嘅集合係實數入面係稠密嘅：任何實數${\displaystyle x}$都可以用一系列嘅二進分數去無限接近佢，例如用${\displaystyle \lfloor 2^{n}x\rfloor /2^{n}}$咁樣。同好多其他稠密集比，例如有理數咁，二進分數組成嘅集係相對比較「細」嘅，呢個集合有時會出現喺數學證明嘅步驟入面（例如Urysohn引理）。

任何兩個二進分數嘅和、積同差都係二進分數：

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a+c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a-c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a-2^{b-d}c}{2^{b}}}\quad (d<b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a\times c}{2^{b+d}}}.}$

但係，兩個二進分數相除就通常都唔係二進分數。所以，二進分數係有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$嘅一個子環。