有向集合

在數學中，有向集合（也叫有向預序或過濾集合），是一個具有預序關係（自反及傳遞之二元關係 ≤）的非空集合 A，而且每一對元素都會有個上界^[1]，亦即對於 A 中任意兩個元素 a 和 b，存在著 A 中的一個元素 c（不必然不同於 a,b），使得 a ≤ c 和 b ≤ c（有向性）。

有向集合是非空全序集合的廣義化，亦即所有的全序集合都會是有向集合（偏序集合則不一定是有向的，因極大元原故）。在拓撲學裡，有向集合被用來定義網，一種廣義化序列且統合用於數學分析中各式極限的概念。有向集合亦在抽象代數及（更一般的）範疇論中被用來產生有向極限這類的概念。

應用

有向集合是非空全序集合的一般化。在拓撲中它們用來定義一般化序列的網，並聯合在數學分析中用到的各種極限的概念。

例子

有向集合的例子有：

• 帶有普通次序 ≤ 的自然數的集合 N 是一個有向集合（也是全序集合）。
• 如果 x₀ 是實數，我們可以把 R - {x₀} 集合變成有向集合，通過寫 a ≤ b 若且唯若 |a - x₀| ≥ |b - x₀|。我們說實數已經被導向了 x₀。這不是偏序。
• 如果 T 是一個拓撲空間而 x₀ 是 T 中的一個點，我們可以把 x₀ 的所有鄰域的集合變成有向集合，通過寫 U ≤ V 若且唯若 U 包含 V。
  • 對於所有 U: U ≤ U；因為 U 包含自身。
  • 對於所有 U,V,W：如果 U ≤ V 而 V ≤ W，則 U ≤ W；因為如果 U 包含 V 而 V 包含 W 則 U 包含 W。
  • 對於所有 U, V：存在著集合 U ${\displaystyle \cap }$V 使得 U ≤ U ${\displaystyle \cap }$V 並且 V ≤ U ${\displaystyle \cap }$V；因為 U 和 V 二者都包含 U ${\displaystyle \cap }$V。
• 在偏序集合 P 中，所有形如 {a| a${\displaystyle \in }$P, a ≤x} 的子集都是有向的，這裡 x 是 P 的一個固定的元素。

對比於半格

有向集合是比（並）半格更弱的（更一般的）概念：所有並半格都是有向集合，兩個元素的並就是想要的 c。

但是有向集合不要求極小性：可以有很多其他這樣的 c。

有向子集

有向集合不需要是反對稱的，並且一般不是偏序的。但是這個術語也經常用在偏序集合的上下文中。在這種情況下，偏序集合（P，≤）的子集 A 叫做有向子集，若且唯若

• A 不是空集，
• 對於 A 中任何兩個 a 和 b，存在 A 中的一個 c 有著 a ≤ c 和 b ≤ c（有向性），

這裡 A 的元素的次序繼承自 P。為此，自反性和傳遞性不需要明確的要求。

有向子集最常用於域理論，這裡研究要求有最小上界的那些集合。所以，有向子集提供在偏序情況下一般化的（收斂）序列。

參見

• 等價關係
• 濾子 (數學)
• 理想 (數學)
• 半格
• 濾通範疇

參考資料

1. Kelley, p. 65.