在數學中,有向集合(也叫有向預序或過濾集合),是一個具有預序關係(自反及傳遞之二元關係 ≤)的非空集合 A,而且每一對元素都會有個上界[1],亦即對於 A 中任意兩個元素 a 和 b,存在著 A 中的一個元素 c(不必然不同於 a,b),使得 a ≤ c 和 b ≤ c(有向性)。
有向集合是非空全序集合的廣義化,亦即所有的全序集合都會是有向集合(偏序集合則不一定是有向的,因極大元原故)。在拓撲學裡,有向集合被用來定義網,一種廣義化序列且統合用於數學分析中各式極限的概念。有向集合亦在抽象代數及(更一般的)範疇論中被用來產生有向極限這類的概念。
應用
例子
有向集合的例子有:
- 帶有普通次序 ≤ 的自然數的集合 N 是一個有向集合(也是全序集合)。
- 如果 x0 是實數,我們可以把 R - {x0} 集合變成有向集合,通過寫 a ≤ b 若且唯若 |a - x0| ≥ |b - x0|。我們說實數已經被導向了 x0。這不是偏序。
- 如果 T 是一個拓撲空間而 x0 是 T 中的一個點,我們可以把 x0 的所有鄰域的集合變成有向集合,通過寫 U ≤ V 若且唯若 U 包含 V。
- 對於所有 U: U ≤ U;因為 U 包含自身。
- 對於所有 U,V,W:如果 U ≤ V 而 V ≤ W,則 U ≤ W;因為如果 U 包含 V 而 V 包含 W 則 U 包含 W。
- 對於所有 U, V:存在著集合 U V 使得 U ≤ U V 並且 V ≤ U V;因為 U 和 V 二者都包含 U V。
- 在偏序集合 P 中,所有形如 {a| aP, a ≤x} 的子集都是有向的,這裡 x 是 P 的一個固定的元素。
對比於半格
有向集合是比(並)半格更弱的(更一般的)概念:所有並半格都是有向集合,兩個元素的並就是想要的 c。
但是有向集合不要求極小性:可以有很多其他這樣的 c。
有向子集
有向集合不需要是反對稱的,並且一般不是偏序的。但是這個術語也經常用在偏序集合的上下文中。在這種情況下,偏序集合(P,≤)的子集 A 叫做有向子集,若且唯若
- A 不是空集,
- 對於 A 中任何兩個 a 和 b,存在 A 中的一個 c 有著 a ≤ c 和 b ≤ c(有向性),
這裡 A 的元素的次序繼承自 P。為此,自反性和傳遞性不需要明確的要求。
參見
參考資料
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