最小上界

最小上界，亦稱上確界（英語：Supremum，記為sup S）是數學中序理論的一個重要概念，在格論和數學分析等領域有廣泛應用。

實數集合 A（藍色球），A 的上界集合（紅色球），和 A 的最小上界也就是上確界（紅色菱形）。

定義

給定偏序集合(T,≤)，對於S⊆T，S的上確界sup(S)定義為S的所有上界組成的集合的最小元（若有）。即sup(S)滿足：

• ∀s∈S ⇒ s≤sup(S)
• ∀t∈T，若t滿足∀s∈S ⇒ s≤t，則有sup(S)≤t。
• sup(S)∈T。

上確界也被稱為最小上界、lub 或 LUB，在格論中也被稱為並，在序理論中S的上確界也被記為${\displaystyle \vee }$S。

• 若S包含最大元素，則該元素就是上確界。
• 若S有上確界，則上確界是唯一的。
• 上確界的對偶概念最大下界叫做下確界或交。
• 偏序集合的子集可能沒有上確界，即使它有上界。
• 上確界一定不能混淆於極小，上界，極大元或最大元。

數學分析中的上確界

在數學分析中，實數的集合S的上確界或最小上界記為 sup(S)，並被定義為大於或等於 S 中所有成員的最小實數。實數的一個重要性質是它的完備性：實數集合的所有非空子集是有上界的就是這個實數集合成員的上確界。

例子

${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}$

${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1\,}$

${\displaystyle \sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}=1\,}$

${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A{\mbox{ and }}b\in B\}=\sup(A)+\sup(B)\,}$

${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,}$

這個有理數的集合的上確界是個無理數，這意味著有理數是不完備的。

此外，如果我們定義在 S 是空集的時候 sup(S) = −∞ 和在 S 沒有上界的時候 sup(S) = +∞ ，則實數的所有集合都在擴展的實數軸上有上確界。

${\displaystyle \sup \mathbb {Z} =\infty \,}$

${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty \,}$

如果上確界屬於這個集合，則它是這個集合的最大元素。術語極大元在處理實數或任何其他全序集合的時候是同義的。

要證明 a = sup(S)，必須證明 a 是 S 的上界並且 S 的任何其他上界大於 a；等價地，也可以證明 a 是 S 的上界並且小於 a 的任何數都不是 S 的上界。

參考文獻

引用

外部連結

• supremum （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (PlanetMath)

參見

• 偏序集
• 上界
• 最小元
• 最大下界
• 本性上確界