扭棱十二面體

在幾何學中，扭棱十二面體是一種半正多面體，由正三角形和正五邊形組成^[2]，由於其具有點可遞的性質，因此屬於阿基米德立體^[3]，也是面數最多的阿基米德立體^[4]，其對偶多面體為五角六十面體^[5][6][7]。

扭棱十二面體

（點選檢視旋轉模型）
類別	阿基米德立體、半正多面體
對偶多面體	五角六十面體
識別
名稱	扭棱十二面體
參考索引	U29, C32, W18
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snid
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	sr{5,3} 或 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ |- !style="background-color:#e7dcc3"| || ht0,1,2{5,3}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	| 2 3 5
康威表示法	sD
性質
面	92
邊	150
頂點	60
歐拉特徵數	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
二面角	3-3: 164°10′31″ (164.18°) 3-5: 152°55′53″ (152.93°)
組成與佈局
面的種類	正三角形 正五邊形
面的佈局 （英語：Face configuration）	(20+60){3}+12{5} [1]
頂點圖	3.3.3.3.5
對稱性
對稱群	I, 1/2H3, [5,3]+, (532), order 60
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	I, [5,3]+, (532), order 60
特性
半正、凸、手性（英語：Chirality (mathematics)）
圖像
扭棱十二面體 及其手性鏡像 3.3.3.3.5 （頂點圖） 五角六十面體 （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

命名

這個形狀最早是由克普勒以拉丁文命名的，當時克普勒給出的名稱為dodecahedron simum^[8][9]，該名稱記載於1619的《世界的和諧》。考克斯特利用扭棱十二面體不僅可以由正十二面體扭棱而成，同時也可以用正二十面體扭棱而成，因此稱其為扭棱十二・二十面體（snub icosidodecahedron）或扭棱截十二面體^[10]。其兩種手性鏡像中，左旋稱為laevo^[11]、右旋稱為dextro^[5]。

性質

扭棱十二面體是一種阿基米德立體，為正十二面體（或正二十面體）透過扭稜變換後的結果，在施萊夫利符號中可以用${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$^[12]或sr{5,3}表示。其具有兩個不同的手性幾何結構，兩者互為鏡像^[13]，互相組合後可以形成均勻複合體稱為二複合扭棱十二面體（英語：Compound of two snub dodecahedra），其凸包為大斜方截半二十面體^[14]。

構成元素

扭棱十二面體的展開動畫。

扭棱十二面體由92個面^[15]、60個頂點和150條邊組成^[16]，在其92個面中有80個正三角形和12個正五邊形^[17][18]；60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形和1個正五邊形的公共頂點，在頂點圖中可以用5.3.3.3.3來表示^[19]；150條稜中有60條稜是三角形和五邊形的公共稜、90條稜是三角形和三角形的公共稜。

體積與表面積

若扭棱十二面體邊長為1，則其表面積為：

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15}$

體積為：

${\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36}$

其中 ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 為黃金分割率，而 ${\displaystyle \xi }$ 是三次方程式 ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}=0}$ 的唯一實數解，換言之 ${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}}$ ，其值約為 ${\displaystyle \xi \approx 0.94315125924}$。

二面角

扭棱十二面體有2種二面角，一種是正三角形與正三角形交角，另一種是正三角形與正五邊形交角。其中正三角形與正三角形交角角度約為164.175度^[11][16]：

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2\xi ^{2}-3}{3}}\right)\approx 2.865400688\approx 164.175366^{\circ }}$

而正三角形與正五邊形交角的角度約為152.9299度^[11][16]：

${\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {15\left(4\left({\frac {1}{\xi }}-\xi \right)\left(3\varphi +1\right)+\left(12\varphi +19\right)\right)}}}{15}}\right)\approx 2.66913\approx 152.9299^{\circ }}$

其中 ${\displaystyle \varphi }$、${\displaystyle \xi }$ 定義如上。

頂點座標

座標值

其中，${\displaystyle x}$與${\displaystyle \varphi }$的定義同#二面角章節 ${\displaystyle C_{0}={\frac {\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}={\frac {x\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{2}={\frac {\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{3}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{4}={\frac {x\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{5}={\frac {\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{6}={\frac {\varphi {\sqrt {x-\varphi +1}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{7}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{8}={\frac {x\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{9}={\frac {\sqrt {\left(x+2\right)\varphi +2}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{10}={\frac {x{\sqrt {x\left(\varphi +1\right)-\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{11}={\frac {\sqrt {x^{2}\left(2\varphi +1\right)-\varphi }}{2}}}$ ${\displaystyle C_{12}={\frac {\varphi {\sqrt {x^{2}+x}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{13}={\frac {\varphi ^{2}{\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2x}}}$ ${\displaystyle C_{14}={\frac {\varphi {\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2}}}$

若一扭棱十二面體邊長為一，且質心位於原點，則其頂點座標為下列式子的偶置換：

• ${\displaystyle \left(c_{2},c_{1},c_{14}\right),\left(c_{0},c_{8},c_{12}\right),\left(c_{7},c_{6},c_{11}\right)}$，且偶數加上正號
• ${\displaystyle \left(c_{3},c_{4},c_{13}\right),\left(c_{9},c_{5},c_{10}\right)}$，且奇數加上正號，左旋與右旋則為y座標相反^[20][21]。

正交投影

扭棱十二面體有3個特殊的正交投影^[2]，分別為於面上投影（兩種）和於稜上投影（一種），其中「在正三角形面上投影」以及「在正五邊形面上投影」其對稱性對應於A₂ 和 H₂的考克斯特平面^[22]。

正交投影

投影於	正三角形面	正五邊形面	稜
立體圖
骨架圖
投影對稱性	[3]	[5]+	[2]
對偶投影

幾何關聯

正十二面體、小斜方截半二十面體以及扭棱十二面體

扭棱十二面體可以透過將正十二面體的正五邊形面往外拉，直到完全不接觸後，原本的頂點位置填入三角形，剩下的部分用三角形補滿來構造。而將正十二面體往外拉時，在某個適當的位置時，原本正五邊形與正五邊形的公共稜的位置則可以擺上正方形，此時則會構成小斜方截半二十面體^[23]。

均勻交錯變換的大斜方截半二十面體

而要產生扭棱的形式則需要在將正五邊形面往外拉時稍微有一點旋轉，並只用三角形填滿空隙，而五邊形旋轉的方向不同可以產生手性鏡像^[24]。

扭棱十二面體也可以經由大斜方截半二十面體透過交錯變換來構造，但構造出的扭棱十二面體並非所有面都是正多邊形，其結果稱為截角大斜方截半二十面體，其與扭棱十二面體有著相同的拓樸結構。

相關多面體與鑲嵌

扭棱十二面體是正十二面體（或正二十面體）經過扭棱變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有：

正二十面體家族半正多面體

對稱群: [5,3]（英語：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面體對偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

扭棱十二面體的頂點為4個正三角形與1個正五邊形的公共頂點，頂點圖計為3.3.3.3.5，在考克斯特符號中可以用來表示，其中，正五邊形可以替換為其他多邊形，而構成一個無窮序列。其他頂點圖也為4個正三角形與1個正n邊形的公共頂點（頂點圖：3.3.3.3.n）、考克斯特符號計為的多面體如下表所示。特別地，這些幾何形狀都具有 (n32) 的旋轉對稱性，當n為6時，幾何體退化成平面的無限面體，為一種半正平面鑲嵌^[25]，n達到7或以上時，幾何結構則成為雙曲鑲嵌圖^[26]；而n為2時，其原像退化為三角形二面體，而n為1或更低時，則該形狀不存在。

扭棱鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3.3.3.3.n
對稱性 n32（英語：Orbifold notation）	球面鑲嵌（英語：List of spherical symmetry groups）				歐氏鑲嵌（英語：List_of_planar_symmetry_groups）	緊湊雙曲		仿緊雙曲
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
考克斯特記號
扭稜圖
頂點圖	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7（英語：Snub triheptagonal tiling）	3.3.3.3.8（英語：Snub trioctagonal tiling）	3.3.3.3.∞（英語：Snub triapeirogonal tiling）
扭稜對偶
頂點佈局（英語：Vertex configuration）	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7（英語：Order-7-3 floret pentagonal tiling）	V3.3.3.3.8（英語：Order-8-3 floret pentagonal tiling）	V3.3.3.3.∞

扭稜立體

原像	正四面體	立方體	正八面體	正十二面體	正二十面體
扭稜	扭棱四面體 sr{3,3}
		扭棱立方體 sr{4,3}	扭棱八面體 sr{3,4}	扭棱十二面體 sr{5,3}	扭棱二十面體 sr{3,5}
完全扭稜	完全扭稜四面體 β{3,3}	完全扭稜立方體 β{4,3}	二複合二十面體 β{3,4}	完全扭稜十二面體 β{5,3}	完全扭稜二十面體 β{3,5}

扭棱十二面體圖

扭棱十二面體圖
5階對稱性
頂點	60
邊	150
自同構群	60
屬性	哈密頓、 正則
閱 論 編

在圖論的數學領域中，與扭棱十二面體相關的圖為扭棱十二面體圖，是扭棱十二面體之邊與頂點的圖（英語：1-skeleton），是一種阿基米德圖（英語：Archimedean graph）^[27]。由於其可以找到哈密頓迴路因此也是一種哈密頓圖。

扭棱十二面體圖

參見

• 五角化扭棱十二面體
• 截半十二面體

參考文獻

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2. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
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3. Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
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23. Lambert M. Surhone, Miriam T. Timpledon, Susan F. Marseken. Snub Dodecahedron. Betascript Publishing. 2010-08-12. ISBN 978-613-1-19412-2.
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27. Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因, 扭棱十二面體 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld（英文）
  • 埃里克·韋斯坦因. Snub dodecahedral graph. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra s3s5s - snid. bendwavy.org.
• Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra