五角二十四面體

在幾何學中，五角二十四面體是一種卡塔蘭多面體^[1]，由24個全等的不等邊五邊形組成，其對偶多面體為扭棱立方體^[2]，共有24個面、60個邊和38個頂點^[3]。

五角二十四面體

（按這裡觀看旋轉模型）
類別	卡塔蘭立體
對偶多面體	扭棱立方體
識別
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	pedid
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
性質
面	24
邊	60
頂點	38
歐拉特徵數	F=24, E=60, V=38 （χ=2）
二面角	136° 18' 33'
組成與佈局
面的種類	V3.3.3.3.4 不等邊五邊形
對稱性
對稱群	O, ½BC3, [4,3]+, 432
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	O, [4,3]+, (432)
特性
凸、面可遞
圖像
扭棱立方體 （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

在礦物學中，這種形狀又稱為五角三八面體、螺旋二十四面體（gyroid）^[4][5][6]、五角偏方三八面體或偏菱五角二十四面體^[7]，部分的礦石可以結晶成這種形狀^[8]，例如赤銅礦——化學成份為氧化亞銅（Cu₂O）的氧化物礦物可以結晶成五角二十四面體^[9]。

性質

五角二十四面體是一個手性多面體（英語：Chirality (mathematics)）^[10]，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀^[11][12][13]。這兩種形式互為鏡像（或「對映體」），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有24個面、60個邊、38個頂點^[3]。

五角二十四面體的旋轉透視圖

五角二十四面體的另一個手性鏡像的旋轉透視圖

五角二十四面體的對偶多面體為扭棱立方體，換句話說即這個多面體的頂點可以對應到扭棱立方體每個面的幾何中心、扭棱立方體的每個頂點可以對應到五角二十四面體的幾何中心。^[14]

面的組成

構成五角二十四面體的五邊形。

五角二十四面體由24個全等的具有鏡像對稱性之不等邊五邊形組成^[13][12]。這種不等邊五邊形有兩種邊長，有三個邊為短邊（下圖中以b表示）、兩個邊為長邊（下圖中以a表示）。長邊的邊長為短邊的一半再加上短邊的三波那契常數（英語：tribonacci constant）倍^[15]，即：

短邊${\displaystyle :}$長邊${\displaystyle =1:{\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2}}}$

其中，${\displaystyle t}$為三波那契常數（英語：tribonacci constant），即：

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}$ （OEIS數列A058265）

這個數為${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$的實根^[16]。

這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰，其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值（${\displaystyle \arccos {\left(2-t\right)}}$約為80.75度）；其餘4個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值（${\displaystyle \arccos {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {t}{2}}\right)}}$約為114.81度）^[15]。

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體面的短邊邊長為^[13][12]：

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {6\left(4-{\sqrt[{3}]{2\left(13+3{\sqrt {33}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{2\left(13-3{\sqrt {33}}\right)}}\right)}}{6}}\approx 0.593465355971987310502}$

相應的五角二十四面體面的長邊邊長為^[13][12]：

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {3\left(4+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}}{6}}\approx 0.8425091624448604672504}$

體積與表面積

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體的體積與表面積為^[10]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}&&\approx 19.299\,94\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}&&\approx 7.4474\end{aligned}}}$

而根據相應的邊長關係^[13][12]，可以得到以邊長表示的體積與表面積：

${\displaystyle A={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}\approx 27.19a^{2}\approx 54.8b^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}\approx 12.45a^{3}\approx 35.63b^{3}}$

正交投影

五角二十四面體有三種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以度為三的頂點為中心、以度為四的頂點為中心以及以與側邊中點為中心的正交投影。前兩者對稱性對分別應於A₂和B₂的考克斯特平面^[17][18]。

正交投影

投影位置	度為三的頂點	度為四的頂點	側邊中點
投影對稱性	[3]	[4]+	[2]
圖像
對偶多面體

變體

五角二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性，且具有3種不同的邊長。這種變體可以透過在扭棱立方體的6個正方形與8個三角形的面上加上角錐至與鄰面共面來構造^[19]。

扭棱立方體的面上加上角錐至與鄰面共面

五角二十四面體變體

該變體地展開圖

相關多面體及鑲嵌

五角二十四面體的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性^[20]，其他同為(n32)旋轉對稱性的幾何結構有：

扭棱鑲嵌對稱性 n32 的變種： 3.3.3.3.n
對稱性 n32（英語：Orbifold notation）	球面鑲嵌（英語：List of spherical symmetry groups）				歐氏鑲嵌（英語：List_of_planar_symmetry_groups）	緊湊雙曲		仿緊雙曲
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
考克斯特記號
扭稜圖
頂點圖	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7（英語：Snub triheptagonal tiling）	3.3.3.3.8（英語：Snub trioctagonal tiling）	3.3.3.3.∞（英語：Snub triapeirogonal tiling）
扭稜對偶
頂點佈局（英語：Vertex configuration）	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7（英語：Order-7-3 floret pentagonal tiling）	V3.3.3.3.8（英語：Order-8-3 floret pentagonal tiling）	V3.3.3.3.∞

關於的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性的五角二十四面體^[20]，亦可以從(4n2)旋轉對稱性進行比較。這些相關幾何結構包括：

扭棱鑲嵌對稱性 4n2 的變種： 3.3.4.3.n
對稱性 4n2（英語：Orbifold notation）	球面鑲嵌（英語：List of spherical symmetry groups）		歐氏鑲嵌（英語：List_of_planar_symmetry_groups）	緊湊雙曲				仿緊雙曲
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
扭稜圖
頂點佈局（英語：Vertex configuration）	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5（英語：Snub tetrapentagonal tiling）	3.3.4.3.6（英語：Snub tetrahexagonal tiling）	3.3.4.3.7（英語：Snub tetraheptagonal tiling）	3.3.4.3.8（英語：Snub tetraoctagonal tiling）	3.3.4.3.∞（英語：Snub tetrapeirogonal tiling）
扭稜對偶
頂點佈局（英語：Vertex configuration）	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

五角二十四面體是立方體經過扭棱變換後的對偶多面體^[10]，其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：

對稱性（英語：List_of_spherical_symmetry_groups）: [4,3], (*432)（英語：Octahedral symmetry）								[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)（英語：Tetrahedral symmetry）		[3+,4] (3*2)（英語：pyritohedral symmetry）
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	c{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=					= or	= or	=
對偶多面體
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V4.62/63	V34.4	V33	V3.62	V35

五角二十四面體圖

主條目：五角二十四面體圖（法語：Graphe_icositétraédrique_pentagonal）

五角二十四面體圖
度分布	3 (32個) 4 (6個)
頂點	38
邊	60
半徑	6
直徑	7
圍長	5
自同構群	24
色數	3
對偶圖	扭棱立方體圖（法語：Graphe cuboctaédrique adouci）
屬性	哈密頓、平面圖
閱 論 編

在圖論的數學領域中，與五角二十四面體相關的圖為五角二十四面體圖，是五角二十四面體之邊與頂點的圖（英語：1-skeleton），同時也是拓樸結構與五角二十四面體等架的圖論物件，由38個節點和60條邊組成^[21]，是一個哈密頓圖^[22]。

性質

五角二十四面體圖有60條邊和38個頂點，其中度為3的頂點有32個；度為4的頂點有6個。這個圖的直徑是7，半徑是6^[22]，其中半徑代表圖中所有頂點偏心率的最小值、直徑代表代表圖中所有頂點偏心率的最大值、偏心率為某頂點和離其最遠點的距離^[23]。換句話說五角二十四面體圖在不考慮循環路徑下頂點間最大距離只少相距6個頂點，最長距離不超過7個頂點^[22]。五角二十四面體圖的圍長為5，即在這個圖內最小的循環路徑為5個頂點^[22]。

五角二十四面體的平行投影是一種五角二十四面體圖

以類似施萊格爾圖（英語：schlegel diagram）的方式呈現的五角二十四面體圖

五角二十四面體圖的另一種表示法

• 五角二十四面體圖的特徵多項式為^[22]：

  ${\displaystyle (x-2)^{2}(x-1)^{3}x(x^{2}-x-7)(x^{2}+x-3)(x^{2}+2x-1)^{2}(x^{3}-4x+1)^{3}(x^{5}+x^{4}-8x^{3}-9x^{2}+7x+4)^{3}}$

參見

• 卡塔蘭立體
• 對偶多面體

參考文獻

1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

1. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)
2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR730208 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 28, Pentagonal icositetrahedron)
3. Pentagonal Icositetrahedron. polyhedra.org. [2020-08-01]. （原始內容存檔於2008-07-14）.
4. Promorphology of Crystals I. www.metafysica.nl. [2020-08-03]. （原始內容存檔於2020-08-03）.
5. Stephen A. Nelson. Crystal Form, Zones, Crystal Habit. 2011-01-11 [2020-08-03]. （原始內容存檔於2013-09-01）.
6. 五角三八面體;螺旋二十四面體 gyroid. 國家教育研究院. [2020-08-01]. （原始內容存檔於2020-08-24）.
7. 偏菱五角二十四面體 pentagonal icositetrahedron. 國家教育研究院. [2020-08-01]. （原始內容存檔於2020-08-24）.
8. 中川宏. 貫入双晶模型の製作 (PDF). [2018-08-30]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-08-31）.
9. Hugo Steinhaus. Mathematical Snapshots (Dover Recreational Math). Dover Publications. 2011年12月28日: pp. 207, 209. ISBN 978-0486409146. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
10. Weisstein, Eric W. (編). Pentagonal Icositetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
11. Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036.
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14. Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. 1991: p.55. ISBN 9780486268514. LCCN 91020471. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
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17. 約翰·史坦布里奇（英語：John Stembridge）. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. [2020-08-01]. （原始內容存檔於2018-02-10） （英語）.
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19. Koca, Nazife and Koca, Mehmet. Regular and Irregular Chiral Polyhedra from Coxeter Diagrams via Quaternions. Symmetry. 2017-08, 9: 148. doi:10.3390/sym9080148.
20. Livio Zefiro, Maria Rosa Ardigo. What Became of the Controversial Fourteenth Archimedean Solid, the Pseudo Rhomb-Cuboctahedron?. Dip.Te.Ris, Universita' di Genova, Italy. [2020-08-24]. （原始內容存檔於2020-07-31）.
21. Hao, Jianqiang and Gong, Yunzhan and Sun, Jianzhi and Tan, Li. Use the K-Neighborhood Subgraphs to Compute Canonical Labelings of Graphs. Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2019, 7 (8): 690.
22. Weisstein, Eric W. (編). Pentagonal Icositetrahedral Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
23. Chartrand G., Johns G., Oellermann O.R. On Peripheral Vertices in Graphs. Bodendiek R., Henn R. (編). Topics in Combinatorics and Graph Theory. Physica-Verlag HD. 1990.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因, 五角二十四面體 （參閱卡塔蘭立體） 於MathWorld（英文）