微分幾何中的拉普拉斯算子

微分幾何中，有多個二階線性橢圓型微分算子稱為拉普拉斯算子（Laplace operator 或 Laplacian）。本文給出它們的一個概覽。

聯絡拉普拉斯算子

聯絡拉普拉斯算子（connection Laplacian）是作用在流形上多個張量叢上的微分算子，利用一個黎曼或偽黎曼度量來定義。當作用在函數（即秩為 0 的張量）上時，聯絡拉普拉斯算子稱為拉普拉斯–貝爾特拉米算子。它定義為第二共變導數的跡：

${\displaystyle \Delta T={\text{tr}}\;\nabla ^{2}T,}$

這裡 T 是任何張量，${\displaystyle \nabla }$ 是與度量相伴的列維-奇維塔聯絡。回憶到 T 的第二共變導數定義為

${\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T=\nabla _{X}\nabla _{Y}T-\nabla _{\nabla _{X}Y}T.}$

注意在此定義中，聯絡拉普拉斯算子的譜是負的。在函數上，它與由梯度的散度給出的算子相同。

霍奇拉普拉斯算子

主條目：拉普拉斯－德拉姆算子

霍奇拉普拉斯算子（Hodge Laplacian）也叫拉普拉斯－德拉姆算子（Laplace–de Rham operator），是作用在微分形式上的微分算子（抽象地說它是在餘切叢上每個外冪上的二階算子）。這個算子對任何配有黎曼或偽黎曼度量的流形上有定義。

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;}$

這裡 d 是外導數或微分而 δ 是余微分。霍奇拉普拉斯算子有正譜。

通過限制在反對稱張量上，聯絡拉普拉斯算子也可作用在微分形式上。聯絡拉普拉斯算子與霍奇拉普拉斯算子的差別為外森比克恆等式刻畫。

Bochner 拉普拉斯算子

Bochner 拉普拉斯算子（Bochner Laplacian）與聯絡拉普拉斯算子的定義不同，但只要前者定義了，兩者之間差一個符號。設 M 是一個緊定向流形，帶有一個度量。令 E 是 M 上一個向量叢，帶有纖維度量與一個相容聯絡 ${\displaystyle \nabla }$。這個聯絡給出一個微分算子

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$

這裡 ${\displaystyle \Gamma (E)}$ 表示 E 的光滑截面，而 T^*M 是 M 的餘切叢。可以取 ${\displaystyle \nabla }$ 的 ${\displaystyle L^{2}}$-伴隨，給出微分算子

${\displaystyle \nabla ^{*}:\Gamma (T^{*}M\otimes E)\rightarrow \Gamma (E).}$

Bochner 拉普拉斯算子由

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{*}\nabla }$

給出，這是作用在向量叢 E 的截面上的一個二階算子。注意聯絡拉普拉斯算子與 Bochner 拉普拉斯算子只差一個符號：

${\displaystyle \nabla ^{*}\nabla =-{\text{tr}}\,\nabla ^{2}.\,}$

Lichnerowicz 拉普拉斯算子

Lichnerowicz 拉普拉斯算子（Lichnerowicz Laplacian）^[1] 是通過取 ${\displaystyle \nabla :\Gamma (\operatorname {Sym} ^{k}(TM))\to \Gamma (\operatorname {Sym} ^{k+1}(TM))}$ 為對稱化的共變導數定義在對稱張量上。Lichnerowicz 拉普拉斯算子定義為 ${\displaystyle \Delta _{L}=\nabla ^{*}\nabla }$，這裡 ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ 是形式伴隨。Lichnerowicz 拉普拉斯算子與通常張量拉普拉斯算子的區別由一個涉及黎曼曲率張量的外森比克公式刻畫，在研究里奇流和 prescribed Ricci curvature problem 中有自然的應用。

共形拉普拉斯算子

在黎曼流形上，可定義作用在光滑函數上的共形拉普拉斯算子（conformal Laplacian）；它與拉普拉斯–貝爾特拉米算子差一個涉及度量數量曲率的項。當維數 ${\displaystyle n\geq 3}$，共形拉普拉斯，記作 L，作用在光滑函數 u 上為

${\displaystyle Lu=-4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta u+Ru,\,}$

這裡 ${\displaystyle \Delta }$ 是拉普拉斯–貝爾特拉米算子算子（具有負譜），R 是數量曲率。這個算子經常出現於研究在黎曼度量的共形變化下數量曲率的行為。如果 ${\displaystyle n\geq 3}$，g 是一個度量，u 是一個光滑正函數，則 共形度量 ${\displaystyle {\tilde {g}}=u^{\frac {4}{n-2}}g}$ 的數量曲率為：

${\displaystyle {\tilde {R}}=u^{-{\frac {n+2}{n-2}}}Lu.\,}$

相關條目

• 外森比克恆等式（Weitzenböck identity（英語：Weitzenböck identity））

參考文獻

1. Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei, Hamilton's Ricci flow, Graduate Studies in Mathematics 77, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2006, ISBN 978-0-8218-4231-7, MR2274812