勒維奇維塔聯絡

勒維奇維塔聯絡（Levi-Civita connection），在黎曼幾何中， 是切線束上的無扭率聯絡，它保持黎曼度量(或偽黎曼度量)不變。因義大利數學家圖利奧·勒維奇維塔而得名。

黎曼幾何基本定理表明存在唯一聯絡滿足這些屬性。

在黎曼流形和偽黎曼流形的理論中，共變導數一詞經常用於勒維奇維塔聯絡。聯絡的坐標空間的表達式稱為克里斯多福符號。

形式化定義

設 ${\displaystyle (M,g)}$ 為一黎曼流形（或偽黎曼流形），則仿射聯絡 ${\displaystyle \nabla }$ 在滿足以下條件時是勒維奇維塔聯絡。

1. 無扭率：也就是，對任何向量場 ${\displaystyle X,Y}$ 我們有 ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$，其中 ${\displaystyle [X,Y]}$ 是向量場 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 的李括號。

1. 與度量相容：也就是,對任何向量場 ${\displaystyle X,Y,Z}$我們有 ${\displaystyle Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$，其中 ${\displaystyle Xg(Y,Z)}$ 表示函數 ${\displaystyle g(Y,Z)}$ 沿向量場 ${\displaystyle X}$ 的導數。

沿曲線的導數

勒維奇維塔聯絡也定義了一個沿曲線的導數，通常用 ${\displaystyle D}$ 表示。

給定一個在 ${\displaystyle (M,g)}$ 上的光滑曲線 ${\displaystyle \gamma }$和${\displaystyle \gamma }$ 上的一個向量場 ${\displaystyle V}$，其導數定義如下

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

參見條目

• 埃雷斯曼聯絡
• 嘉當聯絡
• 仿射聯絡
• 曲率形式

外部連結

• MathWorld: Levi-Civita Connection （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• PlanetMath: Levi-Civita Connection