外微分

數學上，微分拓撲的外微分算子，把一個函數的微分的概念推廣到更高階的微分形式的微分。它在流形上的積分理論中極為重要，並且是德拉姆上同調和Alexander-Spanier上同調中所使用的微分算子。其現代形式是由嘉當發明的。

定義

一個k階的微分形式的外微分是一個k+1階的微分形式。

對於一個k-形式ω = Σ_I f_I dx_I在Rⁿ上，其定義如下：

${\displaystyle d{\omega }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{I}.}$

對於一般的k-形式 Σ_I f_I dx_I （其中多重指標I取遍所有{1, ..., n}的基數為k的有序子集），我們只作了線性推廣。注意如果上面有${\displaystyle i=I}$則${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{I}=0}$

（參看楔積）。

性質

外微分滿足三個重要性質：

• 線性

• 楔積法則（參看反求導）

${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta )}$

• d² = 0，蘊涵了混合偏導數的恆等式的公式，所以總有

${\displaystyle d(d\omega )=0\,\!}$

可以證明外微分由這些性質和其與 0-形式（函數）上的微分的一致性唯一決定。

d 的核由閉形式組成，而其像由恰當形式組成 （參看恰當微分）。

坐標不變公式

給定一個k-形式ω和任意光滑向量場V₀,V₁, …, V_k我們有

${\displaystyle d\omega (V_{0},V_{1},...V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}\omega (V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,V_{k})}$

${\displaystyle +\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,{\hat {V}}_{j},...,V_{k})}$

其中${\displaystyle [V_{i},V_{j}]}$表示李括號，而帽子記號表示省略該元素: ${\displaystyle \omega (V_{0},...,{\hat {V}}_{i},...,V_{k})=\omega (V_{0},...,V_{i-1},V_{i+1}...,V_{k}).}$

特別的有，對於1-形式，我們有：

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).}$

更一般的，李導數由李括號定義：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$,

而一般微分形式的李導數和外微分密切相關。區別主要是記號上的；各種兩者之間的恆等式可以在李導數條目找到。

微積分中的外微分

下面的對應關係揭示了向量微積分的諸多公式實際上只是上述外微分的三個法則的特殊情況而已。

梯度

對於一個0-形式，也就是一個光滑函數f: Rⁿ→R，我們有

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}.}$

所以，對於向量場${\displaystyle V}$

${\displaystyle df(V)=\langle {\mbox{grad }}f,V\rangle ,}$

其中grad f代表f的梯度而<•, •>是純量積。

旋度

對於一個1-形式${\displaystyle \omega =\sum _{i}f_{i}\,dx_{i}}$在R³上，

${\displaystyle d\omega =\sum _{i,j}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\wedge dx_{i},}$

它限制到三維情況${\displaystyle \omega =u\,dx+v\,dy+w\,dz}$就是

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)dx\wedge dy+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)dz\wedge dx.}$

因此，對於向量場${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V=[u,v,w]}$和${\displaystyle W}$我們有 ${\displaystyle d\omega (U,W)=\langle {\mbox{curl}}\,V\times U,W\rangle }$ 其中curl V代表V的旋度 ×是向量積，而<•, •>是純量積。

散度

對於一個2-形式${\displaystyle \omega =\sum _{i,j}h_{i,j}\,dx_{i}\wedge dx_{j},}$

${\displaystyle d\omega =\sum _{i,j,k}{\frac {\partial h_{i,j}}{\partial x_{k}}}dx_{k}\wedge dx_{i}\wedge dx_{j}.}$

對於三維，若${\displaystyle \omega =p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy}$我們得到

${\displaystyle d\omega \,}$	${\displaystyle =\left({\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz}$
	${\displaystyle ={\mbox{div}}V\,dx\wedge dy\wedge dz,}$

其中V是一個向量場定義為${\displaystyle V=[p,q,r].}$

範例

對於1-形式${\displaystyle \sigma =u\,dx+v\,dy}$ on R²我們有

${\displaystyle d\sigma =\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)dx\wedge dy}$

這剛好就是在格林定理中被積分的2-形式。

向量微積分的恆等式：

${\displaystyle \nabla \times (\nabla f)=0}$

與

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}$

皆是外微分第三性質——${\displaystyle d^{2}=0\,}$ 的特例。

參看

• 外共變導數
• 格林定理
• 斯托克斯定理