在向量分析 中，旋度 （英語：curl ）是一個向量 算子 ，表示在三維歐幾里德空間 中的向量場的無窮小量 旋轉 。在向量場每個點上，點的旋度表示為一個向量 ，稱為旋度向量。這個向量的特性（長度和方向）刻畫了在這個點上的旋轉。
曲線積分的向量方向約定，可用右手定則從向量場的旋轉方向去確定它的旋度向量方向，旋度向量
n
^
{\displaystyle {\hat {n}}}
A
{\displaystyle A}
ω
^
{\displaystyle {\hat {\omega }}}
旋度的方向是旋轉的軸，它由右手定則 來確定，而旋度的大小是旋轉的量 。如果向量場表示一個移動的流形 的流速 ，則旋度是這個流形的環量 面密度。旋度為零的向量場叫做無旋向量場 。旋度是向量的一種微分 形式。微積分基本定理 的對應形式是開爾文-斯托克斯定理 ，它將向量場旋度的曲面積分 關聯於這個向量場環繞邊界曲線的曲線積分 。
對於旋度curl F [ 1] rot F ∇ × F del （或稱nabla）算子和叉積 ，更多用於其它國家。
不同於梯度 和散度 ，旋度不能簡單的推廣到其他維度；某些推廣是可能的，但是只有在三維中，在幾何上定義的向量場旋度還是向量場。這個現象類似於三維叉積 ，這個聯繫反應在旋度的符號∇ ×
旋度的名稱「curl」最初由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 在1871年提出[ 2] James MacCullagh 在1839年對光學場理論的構建中[ 3]
在三維直角坐標系
x
y
z
{\displaystyle xyz}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
[ 5] :8 ：
A
(
x
,
y
,
z
)
=
A
x
(
x
,
y
,
z
)
i
+
A
y
(
x
,
y
,
z
)
j
+
A
z
(
x
,
y
,
z
)
k
{\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)=A_{x}(x,y,z)\mathbf {i} +A_{y}(x,y,z)\mathbf {j} +A_{z}(x,y,z)\mathbf {k} }
其中的
i
,
j
,
k
{\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
A
x
,
A
y
,
A
z
{\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}
偏導數 ， 那麼在各個坐標上的投影分別為：
∂
A
z
∂
y
−
∂
A
y
∂
z
,
∂
A
x
∂
z
−
∂
A
z
∂
x
,
∂
A
y
∂
x
−
∂
A
x
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}},\quad {\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}}
的向量叫做向量場A 的旋度，也就是[ 4] :14 ：
c
u
r
l
A
=
∇
×
A
=
(
∂
A
z
∂
y
−
∂
A
y
∂
z
)
i
+
(
∂
A
x
∂
z
−
∂
A
z
∂
x
)
j
+
(
∂
A
y
∂
x
−
∂
A
x
∂
y
)
k
{\displaystyle \mathbf {curl\,} \ \mathbf {A} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }
旋度的表達式也可以用行列式 記號形式表示[ 5] :4-5 ：
c
u
r
l
A
=
|
i
j
k
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
A
x
A
y
A
z
|
{\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}}
需要注意的是這裡的行列式記號只有形式上的意義，因為真正的行列式中的係數應該是數值而不是
i
,
j
,
k
{\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }
[ 6] :78 。
圓柱坐標系 中，假設物體的位置為
(
ρ
,
φ
,
z
)
{\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}
e
ρ
,
e
φ
,
e
z
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\rho },{\boldsymbol {e}}_{\varphi },{\boldsymbol {e}}_{z}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
=
A
ρ
(
ρ
,
φ
,
z
)
e
ρ
+
A
φ
(
ρ
,
φ
,
z
)
e
φ
+
A
z
(
ρ
,
φ
,
z
)
e
z
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\rho }+A_{\varphi }(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+A_{z}(\rho ,\varphi ,z){\boldsymbol {e}}_{z}}
向量場A 的旋度就是[ 7] [ 6] :87 ：
c
u
r
l
A
=
(
1
ρ
∂
A
z
∂
φ
−
∂
A
φ
∂
z
)
e
ρ
+
(
∂
A
ρ
∂
z
−
∂
A
z
∂
ρ
)
e
φ
+
1
ρ
(
∂
(
ρ
A
φ
)
∂
ρ
−
∂
A
ρ
∂
φ
)
e
z
{\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {e}}_{\rho }+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {e}}_{\varphi }+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial ({\rho }A_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {e}}_{z}}
旋度的表達式也可以用行列式 記號形式表示（即向量積 的行列式形式），比如：
∇
×
A
=
|
1
ρ
e
ρ
e
φ
1
ρ
e
z
∂
∂
ρ
∂
∂
φ
∂
∂
z
A
ρ
ρ
A
φ
A
z
|
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\begin{vmatrix}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{\rho }&\mathbf {e} _{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{\rho }&\rho A_{\varphi }&A_{z}\end{vmatrix}}}
要注意的是：以上的行列式中元素並不是可交換 的。實際計算時，展開式其中的每一項應該是第一列的元素乘以第二列的元素再作用於第三列的元素。例如應該是
1
ρ
e
z
⋅
∂
∂
ρ
(
ρ
A
φ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho A_{\varphi })}
∂
∂
ρ
(
ρ
A
φ
⋅
1
ρ
e
z
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho A_{\varphi }\cdot {\frac {1}{\rho }}\mathbf {e} _{z}).}
球坐標系 中，假設物體的位置用球坐標表示為
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
單位向量 ：
e
r
,
e
θ
,
e
φ
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\varphi }}
A 可以表示成：
A
=
A
r
(
r
,
θ
,
φ
)
e
r
+
A
θ
(
r
,
θ
,
φ
)
e
θ
+
A
φ
(
r
,
θ
,
φ
)
e
φ
,
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{r}(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{r}+A_{\theta }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\theta }+A_{\varphi }(r,\theta ,\varphi ){\boldsymbol {e}}_{\varphi },}
向量場A 的旋度就是[ 8] [ 6] :87 ：
c
u
r
l
A
=
1
r
sin
θ
(
∂
(
A
φ
sin
θ
)
∂
θ
−
∂
A
θ
∂
φ
)
e
r
+
1
r
(
1
sin
θ
∂
A
r
∂
φ
−
∂
(
r
A
φ
)
∂
r
)
e
θ
+
1
r
(
∂
(
r
A
θ
)
∂
r
−
∂
A
r
∂
θ
)
e
φ
.
{\displaystyle \mathbf {curl\,} \mathbf {A} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial (A_{\varphi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial (rA_{\varphi })}{\partial r}}\right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\boldsymbol {e}}_{\varphi }\,.}
旋度的表達式也可以用行列式 記號形式表示（即向量積 的行列式形式）：[ 9]
∇
×
A
=
1
r
2
sin
θ
|
e
r
r
e
θ
r
sin
θ
e
φ
∂
∂
r
∂
∂
θ
∂
∂
φ
A
r
r
A
θ
r
sin
θ
A
φ
|
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{r}&r\mathbf {e} _{\theta }&r\sin \theta \mathbf {e} _{\varphi }\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\A_{r}&rA_{\theta }&r\sin \theta A_{\varphi }\end{vmatrix}}}
以下的性質都可以從常見的求導法則推出。最重要的是，旋度是一個線性算子 ，也就是說[ 5] :9 ：
c
u
r
l
(
a
F
+
b
G
)
=
a
c
u
r
l
(
F
)
+
b
c
u
r
l
(
G
)
{\displaystyle \mathbf {curl\,} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\mathbf {curl\,} (\mathbf {F} )+b\;\mathbf {curl\,} (\mathbf {G} )}
其中F 和G 是向量場，a 和b 是實數。
設
φ
{\displaystyle \varphi }
F 是向量場，則它們的乘積的旋度為[ 5] :9 ：
c
u
r
l
(
φ
F
)
=
g
r
a
d
(
φ
)
×
F
+
φ
c
u
r
l
(
F
)
,
{\displaystyle \mathbf {curl\,} (\varphi \mathbf {F} )=\mathbf {grad\,} (\varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;\mathbf {curl\,} (\mathbf {F} ),}
或
∇
×
(
φ
F
)
=
(
∇
φ
)
×
F
+
φ
∇
×
F
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\varphi \mathbf {F} )=({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} .}
設有兩個向量場F 和G ，則它們的向量積 的旋度為[ 5] :9 ：
∇
×
(
F
×
G
)
=
(
G
⋅
∇
)
F
−
(
∇
⋅
F
)
G
−
(
F
⋅
∇
)
G
+
(
∇
⋅
G
)
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {F} \;-\;({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} )\mathbf {G} -(\mathbf {F} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {G} +({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {G} )\mathbf {F} }
一個純量場
f
{\displaystyle f}
梯度 場是無旋場，也就是說它的旋度處處為零[ 4] :14 ：
∇
×
(
∇
f
)
=
0.
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}f)=0.}
一個向量場
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
∇
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }
散度 處處為零[ 4] :18 ：
∇
⋅
(
∇
×
F
)
=
0.
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )=0.}
F 的旋度場的旋度場則有公式[ 4] :14 ：
∇
×
(
∇
×
F
)
=
∇
(
∇
⋅
F
)
−
∇
2
F
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} .}
三維空間
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
S
{\displaystyle S}
Γ
=
∂
S
{\displaystyle \Gamma =\partial S}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
S
{\displaystyle S}
P
(
x
,
y
,
z
)
,
Q
(
x
,
y
,
z
)
,
R
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}
S
{\displaystyle S}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
偏導數 ，則有
∬
S
(
∂
R
∂
y
−
∂
Q
∂
z
)
d
y
d
z
+
(
∂
P
∂
z
−
∂
R
∂
x
)
d
z
d
x
+
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
=
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
{\displaystyle \iint \limits _{S}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\oint \limits _{\Gamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z}
用旋度表示，就是[ 10] :71 ：
∫
S
(
∇
×
A
)
⋅
d
S
=
∮
∂
S
A
⋅
d
l
{\displaystyle \int _{S}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }
這個公式是一般的斯托克斯公式（在n =2向量場 的旋度 的曲面積分和向量場在曲面邊界上的線積分之間建立了聯繫。具體就是，向量場A 在某個曲面的封閉邊界線上的閉合路徑積分，等於A 的旋度場在這個曲面上的積分[ 10] :71 。
![{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} _{1}=0{\boldsymbol {\hat {x}}}+0{\boldsymbol {\hat {y}}}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]{\boldsymbol {\hat {z}}}=-2{\boldsymbol {\hat {z}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a49ab389ca05d5fa93bf177d758f79555a9b38c)
