數學上，HNN擴張（英語：HNN extension）是組合群論中的一個基本構造法。HNN擴張是三名數學家Graham Higman、Bernhard Neumann、Hanna Neumann在1949年的論文Embedding Theorems for Groups[1]提出。給定一個群中兩個同構子群及其間的群同構，這個構造法將這個群嵌入到另一個群中，令到所給定的群同構在新的群中成為共軛。
構造法
若G為群，有展示G = 〈S|R〉，又若 α : H → K是G的兩個子群間的群同構。設t為不在S中的新符號，定義
群G∗α稱為G相對於α的HNN擴張。原本的群G稱為G∗α的基群，而子群H和K稱為相伴子群。新的生成元t稱為穩定字.
基本性質
由於群G∗α包念了G的所有生成元和關係元，所以將G的生成元等同於G∗α的生成元，便誘導出從G到G∗α的一個自然的群同態。Higman、Neumann、Neumann證明了這個群同態是群同構，因而是G到G∗α中的嵌入。從上可得出一個結論是一個群中兩個同構的子群，必定在某個母群中是共軛子群。這個構造法的原來目的是要證明這個結論。
HNN擴張的一個基礎性質是一條正規形的定理，稱為Britton引理。[2]設G∗α如上，w是在G∗α中如下的一個乘積：
Britton引理可表述為：
Britton引理 若在G∗α中w = 1，則
- n = 0，且在G中g0 = 1
- 或是n > 0，且對某個i ∈ {1, ..., n−1}有下列兩者之一
- εi = 1, εi+1 = −1, gi ∈ H,
- εi = −1, εi+1 = 1, gi ∈ K.
Britton引理用逆反命題可表述為：
Britton引理（另一形式）設w滿足以下其中一項
- n = 0，且g0 ≠ 1 ∈ G，
- 或n > 0，且w不包含如下的子字串：tht−1，其中h ∈ H；及t−1kt，其中k ∈ K，
則在G∗α中w ≠ 1。
Britton引理的結果
HNN擴張的大多數基本性質，都可以從Britton引理得出。這些結果包括：
應用
HNN擴張是Higman證明Higman嵌入定理的主要工具。這定理說任何有限生成遞歸展示群可嵌入到一個有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一個有限展示群，有算法不可判定（英語：algorithmically undecidable）的字問題，這定理的現代證明大多數都倚賴於HNN擴張。
推廣
HNN擴張是群的圖的基本群的初等例子。
參考
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