共軛類

數學上，特別是在群論中，群的元素可以分割成共軛類（英語：Conjugacy class）；同一個共軛類的元素有很多共同的屬性。非交換群的共軛類有很多關於該群的結構的重要特徵。對於交換群，這個概念是平凡的，因為每個類就是一個單元素集合。

在同一個共軛類上取常值的函數稱為類函數。

定義

對於群 ${\displaystyle G}$ 中的元素 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle n}$ ， ${\displaystyle gng^{-1}}$ 稱為 ${\displaystyle n}$ 關於 ${\displaystyle g}$ 的共軛。類似地，對元素 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ ，如果存在元素 ${\displaystyle g}$ 使得 ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ，可以稱 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 共軛。

對由可逆矩陣構成的一般線性群 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ，共軛的元素（矩陣）稱為相似矩陣。

共軛是一種等價關係，因此可以 ${\displaystyle G}$ 分割為等價類。（這表示群的每個元素屬於恰好一個共軛類，而類 ${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)}$ 和 ${\displaystyle \mathrm {Cl} (b)}$ 相等若且唯若 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 共軛，否則不相交。）包含群 ${\displaystyle G}$ 中元素 ${\displaystyle a}$ 的等價類是

${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{gag^{-1}\mid g\in G\}}$

稱為 ${\displaystyle a}$ 的共軛類。${\displaystyle G}$ 的類數是不同共軛類的個數。同一個共軛類中的元素的階相同。

例子

對稱群${\displaystyle S_{3}}$，由所有3個元素的6個置換組成，擁有三個共軛類：

• 恆等 (abc -> abc)表示為(1)
• 對換 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba)表示為(23) (12) (13)
• 三階輪換 (abc -> bca，abc -> cab)表示為(132) (123)

對稱群${\displaystyle S_{4}}$，由4個元素的全部24個置換組成，有5個共軛類：

• 恆等
• 對換
• 三階輪換
• 四階輪換
• 雙對換

參看立方體的恰當轉動，它可以用體對角線的枚舉刻劃。

• 在${\displaystyle n\times n}$矩陣，在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。

屬性

• 單位元素總是自成一類，也就是說${\displaystyle \mathrm {Cl} (e)=\{e\}}$。

• 若${\displaystyle G}$可交換，則${\displaystyle gag^{-1}=a}$對於所有${\displaystyle a}$和${\displaystyle g}$屬於${\displaystyle G}$成立；所以${\displaystyle \mathrm {Cl} (a)=\{a\}}$對於${\displaystyle a}$屬於${\displaystyle G}$成立；可見這個概念對於交換群不是很有用。

• 若${\displaystyle G}$的兩個元素${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$屬於同一個共軛類（也即，若它們共軛），則它們有同樣的階。更一般地講，每個關於${\displaystyle a}$的命題可以轉換成關於${\displaystyle b=gag^{-1}}$的一個命題，因為映射${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$是一個${\displaystyle G}$的自同構。

• ${\displaystyle G}$的一個元素${\displaystyle a}$位於${\displaystyle G}$的中心${\displaystyle \mathrm {Z} (G)}$若且唯若其共軛類只有一個元素，${\displaystyle a}$本身。更一般地講，若${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(a)}$代表${\displaystyle G}$中${\displaystyle \{a\}}$的中心化子，也即，有所有滿足${\displaystyle ga=ag}$的元素${\displaystyle g}$組成的子群，則指數${\displaystyle [G:\mathrm {C} _{G}(a)]}$等於${\displaystyle a}$的共軛類中元素的個數。

共軛群作用

令 ${\displaystyle G}$ 為群，對任意 ${\displaystyle g,x\in G}$ ，定義 ${\displaystyle G}$ 關於自身的群作用

${\displaystyle g\cdot x=gxg^{-1}}$ 。

${\displaystyle x}$ 在作用 ${\displaystyle G}$ 上的軌道是其在群 ${\displaystyle G}$ 中的共軛類。元素 ${\displaystyle x}$ 的穩定子群等於該元素的中心化子。

類似地，我們可以令 ${\displaystyle G}$ 作用在 ${\displaystyle G}$ 的所有子集構成的集合，有

${\displaystyle g\cdot S=gSg^{-1}=\{gsg^{-1}\mid s\in S\}}$ 。

又或者是作用在 ${\displaystyle G}$ 的子群構成的集合。

共軛類方程式

若 ${\displaystyle G}$ 為有限群，對 ${\displaystyle G}$ 的任意元素 ${\displaystyle a}$ ，其共軛類中的元素可以與中心化子 ${\displaystyle C_{G}(a)}$ 的陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素 ${\displaystyle b}$ 和 ${\displaystyle c}$ （存在 ${\displaystyle z\in C_{G}(a)}$ 使得 ${\displaystyle b=cz}$ ）對 ${\displaystyle a}$ 的共軛相同：

${\displaystyle bab^{-1}=(cz)a(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}}$ 。

由於 ${\displaystyle a}$ 在 ${\displaystyle G}$ 上的軌道等於其共軛類，其穩定子群等於其中心化子，上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。

${\displaystyle z}$ 的共軛類的元素個數等於它的中心化子的指數 ${\displaystyle [G:C_{G}(z)]}$ ，因而整除 ${\displaystyle G}$ 的階。

進一步的有，對於任何群 ${\displaystyle G}$ ，從 ${\displaystyle G}$ 的每個元素個數大於 ${\displaystyle 1}$ 的共軛類中取出一個元素來定義一個代表集 ${\displaystyle S=\{x_{i}\}}$ 。則 ${\displaystyle G}$ 是群的中心 ${\displaystyle Z(G)}$ 以及 ${\displaystyle S}$ 中所有元素的共軛類 ${\displaystyle Cl(x_{i})}$ 的互斥聯集集。由此可得群論中重要的類方程式：

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}[G:C_{G}(x_{i})]}$

其中求和取遍對於每個 ${\displaystyle S}$ 中的 ${\displaystyle x_{i}}$ 的 ${\displaystyle H_{i}=C_{G}(x_{i})}$ 。注意 ${\displaystyle [G:H_{i}]}$ 是 ${\displaystyle x_{i}}$ 的共軛類的元素個數。該方程式經常用於獲得關於共軛類或者中心的大小的資訊。

例子

考慮一個有限的 p-群 ${\displaystyle G}$ （即元質數目為 ${\displaystyle p^{n}}$ 的群，其中 ${\displaystyle p}$ 是一個質數且 ${\displaystyle n>0}$ ）。我們將證明：每個有限p-群有非平凡的中心。

因為 ${\displaystyle G}$ 的任意子群的指數必須整除 ${\displaystyle G}$ 的次數，所以每個 ${\displaystyle H_{i}}$ 等於 ${\displaystyle p}$ 的一個冪 ${\displaystyle p^{k_{i}}}$ ， ${\displaystyle k_{i}>0}$ 。類方程式給出

${\displaystyle p^{n}=|G|=|Z(G)|+\sum _{i}p^{k_{i}}}$

由於 ${\displaystyle p}$ 整除 ${\displaystyle \sum _{i}p^{k_{i}}}$ 和 ${\displaystyle |G|}$ ， ${\displaystyle p}$ 必須整除 ${\displaystyle |Z(G)|}$ ，所以 ${\displaystyle |Z(G)|>1}$。

子群和一般子集的共軛

更一般的來講，給定任意G的子集S（S不必是子群），我們定義一個G的子集T為S的共軛，若且唯若存在某個g屬於G滿足T = gSg⁻¹。我們可以定義Cl(S)為所有共軛於S的子集T的集合。

一個常用的定理是，給定任意子集S，N(S)（S的正規化子）的指數等於Cl(S)的次數：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

這是因為，如果g和h屬於G，則gSg⁻¹ = hSh⁻¹若且唯若gh ⁻¹屬於N(S)，換句話說，若且唯若g和h屬於N(S)的同一個陪集。

注意這個公式推廣了前面關於共軛類元素的個數的定理（S = {a}的特殊情況）。

上述定理在討論G的子群時尤其有用。子群可以由此分為等價類，兩個子群屬於同一類若且唯若它們共軛。共軛子群是同構的，但是同構子群未必共軛（例如，交換群可以有兩個不同的互相同構的子群，但是它們不可能共軛）。

作為群作用的共軛類

如果對於任意兩個G中的元素g和x定義

g.x = gxg⁻¹

則我們有了一個G在G上的群作用。該作用的軌道就是共軛類，而給定元素的定點子群就是該元素的中心化子。

同樣，我們可以定義一個在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg⁻¹。

參看

• 群
• 群作用
• 中心化子和正規化子

參考

• Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
• Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
• Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X