自由群

在數學中，一個群 ${\displaystyle G}$ 被稱作自由群，如果存在 ${\displaystyle G}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 使得 ${\displaystyle G}$ 的任何元素都能唯一地表成由 ${\displaystyle S}$ 中元素及其反元素組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 ${\displaystyle st^{-1}=su^{-1}ut^{-1}}$ 之類）；此時也稱 ${\displaystyle G}$ 為集合 ${\displaystyle S}$ 上的自由群，其群結構決定於集合 ${\displaystyle S}$，記為 ${\displaystyle F(S)}$，${\displaystyle S}$ 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。

由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群（英語：free abelian group）。

歷史

在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

例子

2個圓環的集束

• 整數的加法群 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ 是自由群；事實上我們可取 ${\displaystyle S:=\{1\}}$。
• 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。
• 在代數拓撲學中，${\displaystyle k}$ 個圓環的集束（即：${\displaystyle k}$ 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 ${\displaystyle k}$ 個生成元的自由群。

建構方式

今將構造集合 ${\displaystyle S}$ 上之自由群 ${\displaystyle F(S)}$，分解動作如下。

1. 對任何 ${\displaystyle s\in S}$，引入符號 ${\displaystyle s^{-1}}$，稱作 ${\displaystyle s}$ 的反元素。
2. 考慮所有由符號 ${\displaystyle s,s^{-1}\;(s\in S)}$ 構成的有限字串。
3. 如果一個字串能透過將 ${\displaystyle ss^{-1}}$ 或 ${\displaystyle s^{-1}s}$ 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 ${\displaystyle F(S)}$。
4. 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即：${\displaystyle x\sim y,x'\sim y'\Rightarrow xx'\sim yy'}$。故字串接合在 ${\displaystyle F(S)}$ 導出二元運算，並滿足交換律。
5. 取 ${\displaystyle F(S)}$ 及字串接合運算構成一個群，字串 ${\displaystyle s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}}$ 之逆為 ${\displaystyle s_{n}^{\mp 1}\cdots s_{1}^{\mp 1}}$。此即所求。

若 ${\displaystyle S}$ 為空集，則 ${\displaystyle F(S)}$ 為平凡群。

泛性質

上述構造 ${\displaystyle F(S)}$ 帶有一個自然的集合映射 ${\displaystyle \phi :S\rightarrow F(S)}$。這對資料 ${\displaystyle (F(S),\phi )}$ 滿足以下泛性質：

若 ${\displaystyle G}$ 為群，${\displaystyle \psi :S\rightarrow G}$ 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 ${\displaystyle f:F(S)\rightarrow G}$ 使得 ${\displaystyle f\circ \phi =\psi }$。

事實上我們僅須，也必須設 ${\displaystyle f(s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}):=\psi (s_{1})^{\pm 1}\cdots \psi (p_{n})^{\pm 1}}$ ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 ${\displaystyle (F_{1},\phi _{1})}$、${\displaystyle (F_{2},\phi _{2})}$ 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子 ${\displaystyle F(-):S\mapsto F(S)}$ 是遺忘函子的左伴隨函子。

性質與定理

• 任何群 ${\displaystyle G}$ 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 ${\displaystyle S}$ 為 ${\displaystyle G}$ 的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時 ${\displaystyle F(S)\rightarrow G}$ 的核 ${\displaystyle R}$ 稱作關係，${\displaystyle F(S),K}$ 稱作 ${\displaystyle G}$ 的一個展示；若 ${\displaystyle S}$ 有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。
• 如果 ${\displaystyle S}$ 有超過一個元素，則 ${\displaystyle F(S)}$ 非交換；事實上 ${\displaystyle F(S)}$ 的中心只有單位元素。
• 任兩個自由群 ${\displaystyle F(S),F(T)}$ 同構的充要條件是 ${\displaystyle S,T}$ 基數相同，此基數稱作自由群的階。

以下是一些相關定理：

• Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 ${\displaystyle G}$ 為 ${\displaystyle n}$ 階，${\displaystyle (G:H)=k}$，則 ${\displaystyle H}$ 為 ${\displaystyle 1-n+nk}$ 階（在此設 ${\displaystyle n,k}$ 有限）。
• 設 ${\displaystyle F}$ 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle F}$ 中都存在 ${\displaystyle n}$ 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。

自由阿貝爾群

更多資訊：自由阿貝爾群

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 ${\displaystyle S}$ 上的自由阿貝爾群可視為自由 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模來構造，或取作 ${\displaystyle F(S)}$ 的「交換化」： ${\displaystyle F(S)/[F(S),F(S)]}$（換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

塔斯基的問題

塔斯基在1945年左右提出下述問題：

兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [1] 的「O8」。

文獻

• Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 數學評論2293770
• W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

• Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 數學評論2238945
• J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL₂", 3rd edition, astérisque 46 (1983))