G-結構

在微分幾何中，對一個給定的結構群 G^[1]，n 維流形 M 上一個 G-結構是 M 的切標架叢 FM（或 GL(M)）的一個 G-子叢。

G-結構的概念包括了許多流形上其它結構，其中一些是用張量場定義的。例如，對正交群，一個 O(n)-結構定義了一個黎曼度量；而對特殊線性群，一個 SL(n,R)-結構就是一個體積形式；對平凡群，一個 {e}-結構由流形的一個絕對平行化組成。

一些流形上的結構，比如複結構，辛結構，或 凱勒結構，都是 G-結構帶上附加的可積性條件。

物理學中的術語是規範群。

主叢和 G-結構

儘管主叢理論在 G-結構的研究中的角色很重要，但兩個概念是不同的。一個 G-結構是一個切標架叢的主子叢，但是 G-結構叢「由切標架組成」的事實被視為數據的一部分。例如，考慮 Rⁿ 上兩個黎曼度量。伴隨的 SO(n)-結構是同構若且唯若度量是同構的。但是，因為 Rⁿ 是可縮的，故下面的 SO(n)-叢作為主叢總是同構。

兩個理論的這個基本差別能夠被在G-結構下面的 G-叢上添加一個額外的數據：焊接形式（solder form）記錄。焊接形式是用一個從 M 的切叢到配向量叢的典範同構將 G-結構下面的 G 叢繫於流形自身的局部幾何上。儘管焊接形式不是一個聯絡形式，經常可以視為一個聯絡形式的前身。

詳細說來，假設 Q 是 G-結構的主叢。如果 Q 是實現為 M 的切叢的壓縮，那麼焊接形式是標架叢的重言形式由包含映射的拉回給出。抽象地，如果將 Q 視為與它作為一個標架叢實現獨立的一個主叢，那麼焊接形式由 G 在 Rⁿ 上的一個表示 ρ 以及一個叢同構 θ : TM → Q ×_ρ Rⁿ 組成。

可積性條件

流形上不少結構，比如複結構，辛結構，或 凱勒結構，均是 G-結構附加一個可積性條件。沒有相應的可積性條件，這些結構稱為一個「殆（幾乎）」結構，比如殆複結構，殆辛結構，或殆凱勒流形。

特別地，一個辛流形結構是比一個辛群的 G-結構更強的概念。流形上一個辛結構是 M 上一個非退化2形式 ω（這是一個 ${\displaystyle Sp}$-結構，或殆辛結構），以及額外條件 dω = 0；後者稱為可積性條件。

類似地，葉狀結構對應於 G-結構為分塊矩陣以及可積性條件，這樣便可利用弗羅貝尼烏斯定理。

G-結構的同構

M 的保持 G-結構的微分同胚集合稱為這個結構的「自同構群」。對一個 O(n)-結構它們就是黎曼度量的等距群，而一個 SL(n,R)-結構為保持體積的映射。

設 P 是流形 M 上一個 G-結構，Q 是流形 N 上一個 G-結構。那麼 G-結構的同構是一個微分同胚 f : M → N，使得線性標架的前推 f_* : FM → FN 的限制給出了 P 到 Q 的一個映射（注意只要 Q 在 f_* 的像中）。G-結構 P 與 Q 是局部同構如果 M 有一個開集覆蓋 U 和一族微分同胚 f_U : U → f(U) ⊂ N 使得 f_U 誘導了一個同構 P|_U → Q|_f(U) 。

一個 G-結構的自同構是 G-結構 P 和自己的同構。自同構經常^[2]在研究幾何結構的變換群中出現，因為流形上許多重要的幾何結構可實現為 G-結構。

如果 G-結構 P 有一個由可交換向量場(V₁,...,V_n) 組成的整體截面，則稱其為平坦 G-結構。若一個 G-結構局部同構於平坦 G-結構，則稱為可積的（或「局部平坦」）。

一類廣泛的等價問題可以用 G-結構語言闡述。例如，一對黎曼流形是（局部）等價等且僅當 它們的正交標架叢是（局部）同構的 G-結構。在這種看法下，解決一個等價問題的一般過程是建立 G-結構的一個不變量系統使得足以確定一對 G-結構是否為局部等價。

G-結構的聯絡

設 Q 是 M 上一個 G-結構。主叢 Q 上的一個主聯絡誘導了任何配向量叢的一個聯絡：特別是切叢。TM 以這種方式產生的線性聯絡 ∇ 稱為與 Q 相容。與 Q 相容的聯絡也稱為容許的聯絡。

具體說來，容許聯絡可用活動標架^[3]來理解。TM一個局部截面（即 M 的一個標架）定義了 Q 的一個截面，假設 V_i 是這個它的一組基。任何聯絡 ∇ 決定了一個取決於基的 1-形式 ω：

∇_X V_i = ω_i^j(X)V_j

這裡，作為作為 1-形式矩陣 ω ∈ Ω¹(M)⊗gl(n)。一個容許聯絡是 ω 在 G 的李代數 g 上的一個取值。

G-結構的撓率

任何 G-結構伴隨有撓率，和聯絡的撓率有關。注意到一個給定的 G-結構可能有許多不同的容許聯絡，這些聯絡可能有不同的撓率。儘管如此，我們還是能夠獨立地定義 G-結構的撓率如下。^[4]

連個容許聯絡的區別是一個 M 上一個取值於伴隨叢 Ad_Q 的 1-形式。這便是說，容許聯絡的空間 A^Q 是對 Ω¹(Ad_Q) 的一個仿射空間。

容許聯絡的撓率定義了映射

${\displaystyle A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,}$

映到係數為 TM 中的 2-形式。這個映射是現行的；其線性化

${\displaystyle \tau :\Omega ^{1}(\mathrm {Ad} _{Q})\to \Omega ^{2}(TM)\,}$

稱為代數撓率映射。給定兩個容許聯絡 ∇ 與 ∇′，它們的撓率張量 T_∇，T_∇′ 差一個 τ(∇−∇′)。從而T_∇ 在 coker(τ) 中的像與 ∇ 的選取無關。

對任何一個聯絡，T_∇ 在 coker(τ) 中的像稱為 G-結構的撓率。如果一個 G-結構的撓率為 0，稱為無撓的。這恰好在 Q 有一個無撓容許聯絡時發生。

例：殆複結構的撓率

G-結構的一個例子是殆複結構，這是將一個偶數維流形的結構群約化為 GL(n,C)。這樣的約化由一個 C^∞-線性自同態 J ∈ End(TM) 使得 J² = −1 惟一確定。在此情形，撓率可明確地算出來：

一個簡單的維數計算說明

${\displaystyle \Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrm {im} (\tau )}$,

這裡 Ω^2,0(TM) 是滿足

${\displaystyle B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,}$

的形式 B ∈ Ω²(TM) 的空間。

從而，一個殆復結構的撓率可以視為 Ω^2,0(TM) 中一個元素。容易驗證一個殆復結構的張量等於它的尼延黑斯張量。

高階 G-結構

一個特定的 G-結構（例如，辛形式）上的壯觀的可積性條件可通過擴張程序處理。在這種情形，擴張後的 G-結構不能構和線性標架從的一個 G-子叢等價。許多情況下，擴張後它自身也是一個主叢，而其結構群可以等價於高階射流群的一個子群。此時，它也稱為一個高階 G-結構（Kobayashi）。一般地，嘉當等價方法運用到這種情形。

參見

• 結構群的約化

注釋

1. 結構群是一個李群 ${\displaystyle G\to GL(n,\mathbf {R} )}$ 映到一般線性群 ${\displaystyle GL(n,\mathbf {R} )}$。這經常是但不必是李子群；例如，對一個spin 結構映射是像的覆蓋空間。
2. Kobayashi (1972).
3. Kobayashi (1972) I.4.
4. Gauduchon (1997).

參考資料

• Chern, S.S. The geometry of G-structures. Bull. Amer. Math. Soc. 1966, 72: 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8.
• Gauduchon, P. Canonical connections for almost-hypercomplex structures. Complex Analysis and Geometry. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman: 123–136. 1997.
• Kobayashi, S. Transformation Groups in Differential Geometry. Classics in Mathematics. Springer. 1972. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337.
• Sternberg, S. Lectures on Differential Geometry (2nd ed.). New York: Chelsea Publishing Co. 1983. ISBN 0-8218-1385-4. OCLC 43032711.