結構群的約化

數學中，特別是在主叢理論中，我們可問一個 ${\displaystyle G}$-叢能否「來自」一個子群 ${\displaystyle H<G}$。這稱為結構群的約化（Reduction of structure group，約化為 ${\displaystyle H}$），且對任何映射 ${\displaystyle H\to G}$ 有意義，不必要求是包含（儘管使用了這個術語）。

定義

正式的，給定一個 G-叢 B 與映射 H → G（不必是包含），結構群的約化（從 G 到 H）是一個 H-叢 ${\displaystyle B_{H}}$ 使得推出 ${\displaystyle B_{H}\times _{H}G}$ 同構於 B。

注意到這不一定存在，如果存在也不必惟一。

作為一個實例，每個偶數維實向量空間是一個復向量空間的背景實空間：它有一個線性復結構。一個實向量空間有一個殆復結構若且唯若它是一個復向量叢的背景實叢。這是沿著包含 GL(n,C) → GL(2n,R) 的一個約化。

用轉移映射的術語來說，一個 G-叢可以約化若且唯若轉移映射可以取值於 H。注意術語約化可能有誤導性：它暗示 H 是 G 的一個子群，這是通常的情形，但不是必須的（比如自旋流形）：更準確的說法是一個提升。

更抽象地，「X 上 G-叢」是 G 的一個函子^[1]：給定一個映射 H → G，誘導一個從 H-叢到 G-叢的一個映射（見上）。G-叢 B 結構群的約化選擇一個 H-叢使其像是 B。

從 H-叢到 G-叢的包含映射一般不是滿的也不是單的，故結構群不是總能約化，且如果可以時，約化也不必是惟一的。例如，不是每個流形是定向的，而可定向的流形恰有兩個定向。

如果 H 是 G 的一個子李群，則在 G-叢 B 到 H 的約化與 B 商去由 H 的作用得到的纖維叢 B/H 之整體截面之間有一個一一對應。具體地，纖維化 B → B/H 是 B/H 上一個主 H-叢。如果 σ : X → B/H 是一個截面，則拉回叢 B_H = σ⁻¹B 是 B 的一個約化。

例子

向量叢的一些例子，特別是一個流形的切叢]]：

• ${\displaystyle GL^{+}<GL}$ 是一個定向，若且唯若叢是定向的才可行；
• ${\displaystyle SL<GL}$ 是一個體積形式；因為 ${\displaystyle SL\to GL^{+}}$ 是一個形變收縮，體積形式]]存在若且唯若叢可定向；
• ${\displaystyle SL^{\pm }<GL}$ 是一個偽體積形式，這總是可行的；
• ${\displaystyle O(n)<GL(n)}$ 是一個度量；因 ${\displaystyle O(n)}$ 是極大緊子群（故包含是一個形變收縮），這總是可行的；
• ${\displaystyle GL(n,\mathbf {C} )<GL(2n,\mathbf {R} )}$ 是一個殆復結構；
• ${\displaystyle {\mbox{Spin}}(n)\to {\mbox{SO}}(n)}$ （這不是包含而是一個二重覆疊空間）是一個自旋結構。
• ${\displaystyle GL(k)\times GL(n-k)<GL(n)}$ 將一個向量叢分解為一個秩 k 與 n-k 子叢之惠特尼和。

可積性

許多幾何結構強於 G-結構；它們是具有一個可積性條件的 G-結構。從而這樣一個結構要求一個結構群的約化（可能有阻礙，見下），但這不是充足的。這樣的例子包括復結構、辛結構（相對於殆復結構與殆辛結構）。

另一個例子關於葉狀結構，這要求將切叢結構群約化為一個分塊矩陣，以及一個可積性條件，於是便可用弗羅貝尼烏斯定理。

阻礙

G-叢由分類空間 BG 分類，類似的 H-叢由分類空間 BH 分類，一個 H-叢上的誘導 G-結構對應於包含映射 ${\displaystyle BH\to BG}$。故給定一個具有分類映射 ${\displaystyle \xi \colon X\to BG}$ 的 G-叢，結構群的約化之阻礙是 ${\displaystyle \xi }$ 作為一個到上纖維 ${\displaystyle BG/BH}$ 映射的類；結構群可以約化若且唯若 ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$ 所在的類是零同倫的。

當 ${\displaystyle H\to G}$ 是同倫等價的，上纖維可縮，從而結構群的約化沒有阻礙，例如 ${\displaystyle O(n)\to GL(n)}$。

反之，由平凡群包含 ${\displaystyle e\to G}$ 誘導的上纖維還是 ${\displaystyle BG}$，故絕對平行（叢的平凡化）的阻礙是叢的類。

一點上的結構

作為一個簡單的例子，視一個 ${\displaystyle G}$-空間為一點上的 ${\displaystyle G}$-叢，將一個 ${\displaystyle G}$-空間約化為 ${\displaystyle H}$-空間沒有阻礙。在此情形分類映射是零同倫，因定義域是一個點。從而「向量空間結構群的約化」沒有任何阻礙；故任何向量空間有一個定向，等等。

相關條目

• 相伴叢

注釋

1. 事實上這是 G 與 X 的一個雙函子。