波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（英語：Bolzano–Weierstrass theorem）是數學中，尤其是拓撲學與實分析中，用以刻畫 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的緊集的基本定理，得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯。波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理說明，有限維實向量空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一個子集${\displaystyle E}$是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）若且唯若${\displaystyle E}$是有界閉集。

歷史

這個定理最早由伯納德·波爾查諾證明，當他在證明介值定理時，附帶證明了這個定理，但是他的證明已經散佚。卡爾·魏爾施特拉斯獨自發現並證明了這個定理。波爾查諾-魏爾施特拉斯定理是實分析中的基本定理。

基礎概念

• 子列：也稱為子序列。一個序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的一個子列是指在${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$中抽取無窮多個元素，然後按照它們在原來序列里的順序排列起來的序列。嚴格的定義是：如果存在一個從${\displaystyle \mathbb {N} }$到${\displaystyle \mathbb {N} }$的嚴格單調遞增的映射${\displaystyle \phi }$，使得${\displaystyle a_{\phi (n)}=b_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} }$，就稱${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$是${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的一個子列。
• 有界閉集：${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界閉集概念建立在給定的拓撲和度量上的。由於在有限維向量空間中所有度量等價，所以可以將${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$視為裝備了歐幾里德度量的度量空間（並且可以定義相應的範數）。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的子集${\displaystyle E}$有界，若且唯若所有${\displaystyle E}$中元素${\displaystyle x}$的範數小於一個給定常數${\displaystyle K}$。注意這時對應的拓撲是歐幾里德範數誘導的自然拓撲。
• 序列緊緻：稱一個集合${\displaystyle S}$是序列緊緻的，是指每個由集合${\displaystyle S}$中元素所組成的數列都包含收斂的子列，並且該子列收斂到集合${\displaystyle S}$中的某個元素。

定理

波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理可以視為刻畫有限維實向量空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中序列緊緻集合的定理。波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理的核心部分可以僅僅使用序列的語言來表示：

定理 1：

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都至少包含一個收斂的子列。^[1]:56

從這個定理出發，在給定的有界閉集${\displaystyle F}$中任取一個序列，那麼這個序列是有界的，從而至少包含一個收斂的子列。而從${\displaystyle F}$的封閉性可知，這個子列作為${\displaystyle F}$的一部分，其收斂的極限必然也在${\displaystyle F}$中。所以可以推知：

推論：

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界閉集必然序列緊緻。^[1]:163

這個推論給出了${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中集合序列緊緻的充分條件。另一方面，可以證明序列緊緻的集合必然是有界閉集。這樣就將充分條件推進為充要條件：

定理 2：

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一個子集${\displaystyle E}$是序列緊緻的，若且唯若${\displaystyle E}$是有界閉集。^[1]:163

由於有限維賦範向量空間都與裝備了歐幾里德範數的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$同胚，所以以上的定理都可以擴展到任意有限維賦範向量空間。^[2]:132

證明

證明的關鍵是定理的核心部分，也就是定理1：任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都至少包含一個收斂的子列。

引理：

任何實數列必然包含單調的子列。^[1]:55

引理的證明：^[1]:55-56

設有實數列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，定義集合：${\displaystyle X=\{a_{k};\ \forall n\geq k,\ a_{k}\geq a_{n}\}}$。集合中的每個元素，都比序列中排在其後的所有元素都大。

• 如果${\displaystyle X}$中有無限個元素，在其中取下標遞增的一個數列，那麼這個數列是${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$的子列，並且單調遞減，構造完畢。
• 如果${\displaystyle X}$中元素個數有限，那麼設${\displaystyle N}$為${\displaystyle X}$中元素的下標中最大的一個。對任意${\displaystyle n>N}$，考慮${\displaystyle a_{n}}$，${\displaystyle a_{n}}$不在集合${\displaystyle X}$中，所以${\displaystyle a_{n}}$之後至少會有一個元素大於${\displaystyle a_{n}}$。換句話說，序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$裡面排在${\displaystyle a_{N}}$後面的任一元素，它後面都必然還有一個比它大的元素。於是取${\displaystyle k_{0}=N+1}$，${\displaystyle \scriptstyle k_{1}>k_{0}}$為第一個大於${\displaystyle a_{k_{0}}}$的元素的下標，${\displaystyle \scriptstyle k_{2}>k_{1}}$為第一個大於${\displaystyle a_{k_{1}}}$的元素的下標，依此類推，就可以得到${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的一個單調遞增的子列。

綜上可得，任何實數列必然包含單調的子列。

定理的證明：^[1]:447

先考慮一維（也就是${\displaystyle n=1}$）的情況。給定有界的實數列${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$，取它的一個單調子列。不妨設這個子列單調遞增，由於數列有上界，依據數列的單調收斂定理，這個子列必然收斂。

對於高維（${\displaystyle n\geqslant 2}$）的情況，證明的思路是取多次子列。

設${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(a_{1k},a_{2k},\cdots ,a_{nk})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{n}}$為一個有界序列，則${\displaystyle n}$個實數列${\displaystyle (a_{ik})_{k\in \mathbb {N} },1\leq i\leq n}$都是有界數列。於是存在${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$的子列${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$使得${\displaystyle (a_{1\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$收斂。但是${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$仍是有界數列，因而存在子列${\displaystyle (a_{\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$使得${\displaystyle (a_{2\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{\in \mathbb {N} }}$也收斂（注意這裡${\displaystyle (a_{1\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$必然是收斂的）。在進行類似的${\displaystyle n}$次操作後，我們就可以得到一個子列，使得${\displaystyle \forall 1\leq i\leq n,\ (a_{i\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$都收斂，也就是說存在子列${\displaystyle \ (a_{\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$收斂。證畢。

波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質

在有限維度量空間中，波爾查諾-魏爾斯特拉斯說明了序列緊緻的集合就是有界閉集。然而在一般的度量空間中，有界閉集不一定是序列緊緻的。為此，拓撲學中將一般度量空間中的序列緊緻稱為波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質。

定義：

設${\displaystyle K}$為度量空間${\displaystyle (E;\;d)}$的子集。若${\displaystyle K}$中任一序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都包含一個收斂的子列，其極限也是${\displaystyle K}$中元素，就稱${\displaystyle K}$具有波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質。^[1]:598

如果度量空間本身滿足波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質，就稱這個度量空間為緊空間。在度量空間中，波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質等價於海恩-波萊爾性質：所有${\displaystyle K}$的開覆蓋都有限子覆蓋^[1]:602。

參考來源

1. Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner. Elementary Real Analysis. CreateSpace. 2008. ISBN 9781434843678 （英語）.
2. Mustafa A. Akcoglu, Paul F.A. Bartha, Dzung Minh Ha. Analysis in Vector Spaces. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118164594.

• Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Bolzano-Weierstrass theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）