覆蓋 (拓撲學)

在數學中，若 ${\displaystyle X}$ 是一個集合類 ${\displaystyle C}$ 中聯集的子集，則集合類 ${\displaystyle C}$ 是集合 ${\displaystyle X}$ 的覆蓋。用符號來說，如果 ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }\rbrace _{\alpha \in A}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的子集索引族，則 ${\displaystyle C}$ 是如下條件下的覆蓋（定義可參見: Gamelin 與 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁）

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$。

更一般的說，如果 ${\displaystyle Y}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的子集，而 ${\displaystyle C}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle U_{\alpha }}$ 的搜集，它的聯集包含 ${\displaystyle Y}$，則 ${\displaystyle C}$ 被稱為是 ${\displaystyle Y}$ 的覆蓋。也就是 ${\displaystyle C}$ 是 ${\displaystyle Y}$ 的覆蓋如果

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq Y}$ 。

拓撲學中覆蓋

覆蓋通常用在拓撲學的上下文中。如果集合 ${\displaystyle X}$ 是拓撲空間，我們稱 ${\displaystyle C}$ 是開覆蓋，如果它的每個成員都是開集（就是說每個 ${\displaystyle U_{\alpha }}$ 都包含在 ${\displaystyle T}$ 中，這裡的 ${\displaystyle T}$ 是 ${\displaystyle X}$ 上的拓撲）。

如果 ${\displaystyle C}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的覆蓋，則 ${\displaystyle C}$ 的子覆蓋是 ${\displaystyle C}$ 的仍覆蓋 ${\displaystyle X}$ 的子集。

${\displaystyle X}$ 的開覆蓋被稱為是局部有限的，如果對任意 ${\displaystyle X}$ 的點${\displaystyle x}$ 都存在一個鄰域，其只與這個覆蓋中有限多個集合有交集。用符號來說，${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$ 是局部有限的，如果對於任何 ${\displaystyle x\in X}$，存在某個 ${\displaystyle x}$ 的鄰域 ${\displaystyle N\left(x\right)}$ 使得集合

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \emptyset \right\}}$

是有限的。

精細

${\displaystyle X}$ 的覆蓋 ${\displaystyle C}$ 的精細（或稱加細）是 ${\displaystyle X}$ 的新覆蓋 ${\displaystyle D}$ ，使得在 ${\displaystyle D}$ 中的任意的一個集合，都包含在 ${\displaystyle C}$ 的某個集合中。

用符號來說，有 覆蓋 ${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$ 、 ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ，如果對任意的 ${\displaystyle V_{\beta }}$ ，都存在某個 ${\displaystyle U_{\alpha }}$ 使得 ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$，我們則說 ${\displaystyle D}$ 是覆蓋 ${\displaystyle C}$ 的精細。

所有子覆蓋也是精細，反之不然。但是注意一般的說精細將比原始覆蓋有更多的集合。

緊緻性

覆蓋的這個詞語經常用來定義與緊緻性有關的拓撲性質。一個拓撲空間 X 被稱為

• 緊緻的，如果所有開覆蓋有有限子覆蓋。
• 林德勒夫的，如果所有開覆蓋都有可數子覆蓋。
• 元緊緻的，如果所有開覆蓋都有一個點有有限開精細。
• 仿緊緻的，如果所有開覆蓋允許局部有限、精細。

引用

1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 （英語）. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 （英語）.