高斯公式(Gauss's law),又稱為高斯通量理論(Gauss' flux theorem)、散度定理(Divergence Theorem)、高斯散度定理(Gauss's Divergence Theorem)[1]、高斯-奧斯特洛格拉德斯基公式或高-奧公式,是指在向量分析中,一個把向量場通過閉合曲面的流動(即通量)與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。該定理與斯托克斯定理(Stokes' Theorem)是向量中兩大重要定理[2]。
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更加精確地說,高斯公式說明向量場穿過曲面的通量,等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地,所有源點的和減去所有匯點的和,就是流出這區域的淨流量。
高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果,特別是靜電學和流體力學。
在物理和工程中,散度定理通常運用在三維空間中。然而,它可以推廣到任意維數。在一維,它等價於分部積分法。
設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域,函數在上具有一階連續偏導數,則有[3]
或
這裡是的邊界(boundary),是在點處的單位法向量的方向餘弦。
這兩個公式都叫做高斯公式,不過這兩公式僅僅是表達方式不同,其實是相同的定理,這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ,其中 是曲面 的向外單位法向量。
這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。
假設我們想要計算
其中S是一個單位球面,定義為
F是向量場
直接計算這個積分是相當困難的,但我們可以用高斯公式來把它簡化:
其中W是單位球:
由於函數y和z是奇函數,我們有:
因此:
因為單位球W的體積是4π/3.
二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整,首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量(詳見並矢張量或張量積)以及相關的概念和記號。在這裡,向量和向量場用黑斜體字母表示,張量用正黑體字母表示。
- 兩個向量和並排放在一起所形成的量被稱為向量和的並矢或並矢張量。要注意,一般來說,。
- 的充分必要條件是或。
- 二階張量就是有限個並矢的線性組合。
- 分別線性地依賴於和。
- 二階張量和向量的縮併以及對 和都是線性的。
- 特別是,當時,
所以,一般說來,。
下面舉一個例子:用二階張量及其與向量的縮併來重新寫和。
我們還用到二階張量的轉置(又可以記為),定義如下:
- 仍然是一個二階張量,並且線性地依賴於。
- 。
定理:設 是三維歐幾里得空間中的一個有限區域,是它的邊界曲面,是的外法線方向上的單位向量,是定義在的某個開鄰域上的連續的二階張量場,是的轉置,則
證明:下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為,則
接下來利用向量場的高斯公式,可得
於是
至此證畢。