斯托克斯定理

斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem），也被稱作廣義斯托克斯定理、斯托克斯–嘉當定理（Stokes–Cartan theorem）^[1]、旋度定理（Curl Theorem）、克耳文-斯托克斯定理（Kelvin-Stokes theorem）^[2]，是微分幾何中關於微分形式的積分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的幾個定理，以喬治·加布里埃爾·斯托克斯爵士命名^[3]。

提示：此條目頁的主題不是斯托克斯定律。

ℝ³ 上的斯托克斯公式

旋度定理

對克耳文-斯托克斯定理的詮釋，面S，它的邊界∂S，和法線向量${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$。

旋度定理可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面；旋度定理不可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

設${\displaystyle S}$是分片光滑的有向曲面，${\displaystyle S}$的邊界為有向閉曲線${\displaystyle \varGamma }$，即${\displaystyle \varGamma =\partial S}$，且${\displaystyle \varGamma }$的正向與${\displaystyle S}$的側符合右手規則： 函數${\displaystyle P(x,y,z)}$、${\displaystyle Q(x,y,z)}$、${\displaystyle R(x,y,z)}$都是定義在「曲面${\displaystyle S}$連同其邊界${\displaystyle \varGamma }$」上且都具有一階連續偏導數的函數，則有：^[4]

${\displaystyle \iint _{S}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

${\displaystyle =\oint _{\varGamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z}$

引進符號行列式，這個公式也可以寫成以下形式：

${\displaystyle \iint _{S}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &\cos \beta &\cos \gamma \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\P&Q&R\end{vmatrix}}\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z}$

這個公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或克耳文－斯托克斯定理、旋度定理。這和函數的旋度有關，用梯度算符可寫成：^[5]

${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$

它將ℝ³ 空間上「向量場的旋度的曲面積分」跟「向量場在曲面邊界上的線積分」之間建立聯繫，這是一般的斯托克斯公式（在 n=2 時）的特例，我們只需用ℝ³ 空間上的內積把向量場看作等價的1-形式。該定理的第一個已知的書面形式由威廉·湯姆森（克耳文勳爵）給出，出現在他給斯托克斯的信中。

散度定理

主條目：高斯散度定理

類似的，高斯散度定理

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \;\mathrm {d} V=\int _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

也是廣義斯托克斯定理的一個特例，如果我們把右邊的 ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$ 看成是等價的(n-1)-形式，可以通過和體積形式的內積實現。 微積分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理當然比其特例更強，雖然後者更直觀而且經常被使用它的科學工作者或工程師認為更方便。

流形上的斯托克斯公式

令 M 為一個可定向分段光滑 n 維流形，令 ω 為 M 上的 n−1 階 C¹ 類緊支撐微分形式。如果 ∂M 表示 M 的邊界，並以 M 的方向誘導的方向為邊界的方向，則

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega (=\oint _{\partial M}\omega ).\!\,}$

這裡 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的結構定義。這個公式被稱為廣義斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被認為是微積分基本定理、格林公式、高－奧公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推廣；後者實際上是前者的簡單推論。

該定理經常用於 M 是嵌入到某個定義了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以簡單的推廣到分段光滑的子流形的線性組合上。斯托克斯定理表明相差一個恰當形式的閉形式在相差一個邊界的鏈上的積分相同。這就是同調群和德拉姆餘調可以配對的基礎。

應用

斯托克斯公式可以在對坐標的曲線積分和對面積的面積積分之間相互轉換，該公式是格林公式在三維空間的推廣，後者表達了平面閉區域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關係，前者則把曲面上的曲面積與沿著的邊界曲線的曲線積分聯繫起來^[6]。

參考文獻

1. Jacques Pelletier and Michel Moisan.Physics of Collisional Plasmas: Introduction to High-Frequency Discharges （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.Springer.2012-11-22.
2. Stokes' theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.Tel Aviv University.2015-06-16.
3. Peter Lynch.George Stokes: Sligo man who made profound contributions to science （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.The Irish Times.Aug 8, 2019.
4. 同濟大學數學系 編. 高等數學(第六版)(下冊). 北京: 高等教育出版社, 2007
5. 謝樹藝編. 高等學校教材•工程數學:矢量分析與場論(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005
6. Jacques Pelletier and Michel Moisan.§10.7 斯托克斯公式 環流量與旋度 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.山東理工大學.2009-11-27.

延伸閱讀

• The General Stokes' Theorem.Pitman Advanced Pub. Program.1983.
• Katz, Victor J. The History of Stokes' Theorem. Mathematics Magazine. May 1979, 52 (3): 146–156. JSTOR 2690275. doi:10.2307/2690275.
• Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo. Advanced Calculus. Hackensack, New Jersey: World Scientific. 2014.
• Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen. From Calculus to Cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1997.
• Marsden, Jerrold E.; Anthony, Tromba. Vector Calculus 5th. W. H. Freeman. 2003.
• Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. 2003.
• Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. New York, NY: McGraw–Hill. 1976.
• Spivak, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. 1965.
• Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. Cengage Learning. 2009: 960–967 [2020-05-10]. （原始內容存檔於2020-12-19）.
• Stewart, James. Calculus: Early Transcendental Functions 5th. Brooks/Cole. 2003.
• Tu, Loring W. An Introduction to Manifolds 2nd. New York: Springer. 2011.