費馬大定理

費馬大定理（亦名費馬最後定理，法語：Le dernier théorème de Fermat，英語：Fermat's Last Theorem），其概要為：

當整數${\displaystyle n>2}$時，關於${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$的不定方程式

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

無正整數解。

關於以皮埃爾·德·費馬命名的其他定理，請見「費馬定理」。

以上陳述由17世紀法國數學家費馬提出，被稱為「費馬猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬最後定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊沒有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成定理。在衝擊這個數論世紀難題的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得包括邵逸夫獎在內的數十個獎項。

歷史

丟番圖拉丁文譯本第11卷第8命題

1637年，費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：

“

將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信我發現一種美妙的證法，可惜這裡的空白處太小，寫不下[註 1]。

”

畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富數論的內容，推動數論的發展。

歐拉在1770年的時候，證明${\displaystyle n=3}$時定理成立。^[1]

1825年，高斯和熱爾曼同時獨立證明費馬定理5次冪。

費馬大定理提出之後的二百年內，對很多不同的特定的${\displaystyle n}$，費馬大定理被證明。但對於一般情況，人們仍一籌莫展。

1908年，德國人「保羅·弗里德里希·沃爾夫斯凱爾（英語：Paul Wolfskehl）」宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第一個證明該定理的人，吸引不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後，馬克大幅貶值，該獎金的吸引力也大幅下降。

1983年，格爾德·法爾廷斯證明莫德爾猜想。作為推論，對於給定的整數${\displaystyle n>2}$，至多存在有限組互質的${\displaystyle a,b,c}$使得${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$。

1986年，格哈德·弗賴（Gerhard Frey）提出「ε-猜想」：若存在${\displaystyle a,b,c}$使得${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線

${\displaystyle y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)}$

會是谷山-志村猜想的一個反例。格哈德·弗賴的猜想隨即被肯尼斯·阿蘭·黎貝證實。此猜想顯示費馬大定理與橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年，安德魯·懷爾斯和理查·泰勒在一特例範圍內證明谷山志村猜想，弗賴的橢圓曲線剛好在這一特例範圍內，從而證明費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用七年時間，在不為人知的情況下，得出證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審查證明的過程中，專家發現一個極為嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒之後用近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部分的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的《數學年刊》（Annals of Mathematics）之上。

在懷爾斯證明之前，沃爾夫斯凱爾委員會（Wolfskehl committee）收到數千個不正確的證明，所有紙張疊加達到約10英尺（3米）的高度^{[2]（p. 295）}。僅在第一年（1907—1908年）就提出621個證明，但到了20世紀70年代，各家證明方法的提出已經降至每個月大約3-4個。根據沃爾夫斯凱爾委員會評論家施里希廷（F. Schlichting）的說法，大多數證明都是基於學校教授的基本方法，並且提交證明的人大多「有技術教育但職業生涯失敗」^{[2]（pp. 120–125、131–133、295–296）[3]}。用數學歷史學家霍華德·伊夫斯（英語：Howard Eves）的話來說，「費馬大定理在數學裡有一個特殊的現象，即在於它是錯誤證明數量最多的數學題。」^[4]

參見

• 索菲熱爾曼質數
• 維費里希質數
• 沃爾-孫-孫質數
• 沃爾斯滕霍爾姆質數
• 數學猜想列表
• 費馬-卡塔蘭猜想

註釋

1. 拉丁文原文：Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

參考資料

1. 用戶1915054266. 怀尔斯用7年时间证明费马大定理，杀死一只会下金蛋的鹅. 快資訊. 2019-04-29 [2019-05-21]. （原始內容存檔於2019-06-10） （中文（中國大陸））.
2. Singh 1997.
3. Aczel 1996，第70頁.
4. Koshy T. Elementary number theory with applications. New York: Academic Press. 2001: 544. ISBN 978-0-12-421171-1.

書籍

• Singh, Simon. Fermat's enigma : the quest to solve the world's greatest mathematical problem. New York: Walker. 1997. ISBN 0-8027-1331-9.
• Aczel, Amir. Fermat's last theorem : unlocking the secret of an ancient mathematical problem. New York: Four Walls Eight Windows. 1996. ISBN 978-1-56858-077-7.

論文

• Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics 141. 1995: 443–551. （原始內容 (PDF)存檔於2011-05-10）.
• R.Taylor; A.Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141. 1995: 553–572. （原始內容存檔於2004-12-04）.
• Gerd Faltings. The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles (PDF). Notices of the AMS. 1995-07. （原始內容存檔 (PDF)於2019-09-12）.
• Charles Daney. The Mathematics of Fermat's Last Theorem. （原始內容存檔於2004-08-03）.
• J J O'Connor; E F Robertson. Fermat's last theorem. （原始內容存檔於2001-08-04）. The history of the problem.
• David Shay. Fermat's last theorem. （原始內容存檔於2007-02-02）. The story and the history of the problem.

外部連結