費馬-卡塔蘭猜想

在數論上，費馬－卡塔蘭猜想是費馬大定理與卡塔蘭猜想的推廣，而這猜想認為，以下的等式

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }$

1

僅有有限多個${\displaystyle a,b,c}$彼此互質，且${\displaystyle m,n,k}$滿足下列條件的解：

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$

2

這個給出${\displaystyle m,n,k}$條件的不等式是猜想的必要成分，而這是因為沒有這不等式的話，這結果就會有無限多的解，像例如在${\displaystyle k=1}$的狀況下，${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c}$顯然有無限多的解；而在${\displaystyle m=n=k=2}$的狀況下該等式就是畢達哥拉斯定理，而目前已知有無限多個畢氏三元數存在。

已知解

截至2015年為止，等式(1)已知有十個滿足不等式(2)的解，而這些解如下：^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$ （在${\displaystyle m>6}$的狀況下這滿足不等式(2)）

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}[phone]^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

根據在普雷達·米哈伊列斯庫（英語：Preda Mihăilescu）於2002年證明的卡塔蘭猜想，這些等式中的第一個，也就是${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$，是唯一滿足${\displaystyle a,b,c}$其中一個是1的解。盡管因為${\displaystyle m}$可以是大於6的任意數之故，因此${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$等同於有無限多解，這些解只對${\displaystyle (a^{m},b^{n},c^{k})}$這三元數給出一組解。

部分結果

根據利用了法爾廷斯定理的達爾蒙－關維定理（Darmon–Granville theorem），對於任意特定不等式(2)的三元數組${\displaystyle (m,n,k)}$，等式(1)僅有有限解；^{[2][3]:p. 64}然而完整的費馬－卡塔蘭猜想強於此，而這是因為完整的猜想允許${\displaystyle m,n,k}$這三個指數項是任意數之故。

abc猜想可導出費馬－卡塔蘭猜想。^[4]

亦可見貝亞爾猜想（英語：Beal conjecture）一文的內容以得知已證實不可能的指數組合；而貝亞爾猜想為真，當且僅當所有的費馬－卡塔蘭猜想都有${\displaystyle m=2}$、${\displaystyle n=2}$或${\displaystyle k=2}$。

參見

• 冪和

參考資料

1. Pomerance, Carl, Computational Number Theory, Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (編), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press: 361–362, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2.
2. Darmon, H.; Granville, A. On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r. Bulletin of the London Mathematical Society. 1995, 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513.
3. Elkies, Noam D. The ABC's of Number Theory (PDF). The Harvard College Mathematics Review. 2007, 1 (1) [2023-01-10]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-10）.
4. Waldschmidt, Michel. Lecture on the ${\displaystyle abc}$ conjecture and some of its consequences. Mathematics in the 21st century (PDF). Springer Proc. Math. Stat. 98. Basel: Springer. 2015: 211–230 [2023-01-10]. MR 3298238. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. （原始內容存檔 (PDF)於2023-12-03）.

外部連結

• Perfect Powers: Pillai's works and their developments. Waldschmidt, M. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）