正則地區圖

在數學中，正則地區圖（regular map）是指封閉曲面上的對稱鑲嵌圖。更精確地說，正則地區圖是將某個二維流形分解為具對稱性之拓樸盤面的分解結果，且該分解使得所有標記（含有點、邊與面的三元組）都能在對稱性上任意地變換為其他標記。舉例來說，立方體對應的圖結構是一個正則地區圖，因為立方體對應的球面鑲嵌（英語：Spherical tiling）可以透過將球面分解為由6個正方形組成的拓樸盤面，且構成該6個正方形的頂點、邊和面（前三者的組合為立方體的標記）可以在立方體的對稱性上任意地變換為其他標記，換句話說，這些頂點、邊和面在特定軸上旋轉90度可以重和一次。

立方體是一個球面上的正則地區圖，因為立方體的結構（紅色虛線）可以對應到球面上形成球面鑲嵌（黑線），並將球面分割成6個正方形，且所形成的結構具有與正多面體等價的對稱性

六面形是一個球面上的正則地區圖，因為六面形可以透過將球面用2個頂點和6條邊分割為6個球面二角形。

某種意義上來說，正則地區圖也可以視為柏拉圖立體的概念在拓樸學上的一種推廣。地區圖理論及其分類與黎曼曲面理論、雙曲幾何理論和伽羅瓦理論有關。

概述

正則地區圖的定義和研究通常會透過拓樸、群論和圖論的三種方式進行。

從拓樸討論

在拓樸學中，地區圖（map）是封閉且緊湊之2-流形的2-胞複形分解。其虧格可以用歐拉示性數導出${\displaystyle \chi (M)=|V|-|E|+|F|}$。若地區圖具備可定向性，則其值等於${\displaystyle 2-2g}$，否則為${\displaystyle 2-g}$。^[1][2]除了環面之外，每個可定向虧格都有有限個（非零）正則地區圖。^[3]

從群論討論

在群論中，正則地區圖的排列是一個由標記構成的集合${\displaystyle \Omega }$上的可遷格序置換群（transitive permutation group），由3個定點的自由對合r₀, r₁, r₂，並滿足(r₀r₂)²= I。在這個定義下，面為F = <r₀, r₁>的軌道、邊為E = <r₀, r₂>的軌道、頂點為V = <r₁, r₂>的軌道。更抽象地，任何正則地區圖的自同構群都是 <2,m,n>-三角群的非退化同構圖。^[2]

從圖論討論

在圖論中，地區圖是一種立方圖，其可以表示為以三種顏色染色的著色圖（下文以紅、黃、藍三種顏色表示之），是一種連通圖，且每個頂點都與所有顏色的邊相接，非黃色的邊出現週期為4。另外，這種圖也是一種定義於頂點集合或標記集合${\displaystyle \Omega }$上的標記圖（flag graph）或圖編碼圖（英語：Graph-encoded map）（GEM），且非地區圖的骨架 G = (V,E)。一般來說，|${\displaystyle \Omega }$| = 4|E|。^[4]

例子

• 大十二面體是一個由五邊形面組成且位於虧格為4的可定向曲面上的正則地區圖。^[3]
• 立方體半形是射影平面，形式為{4,3}的正則地區圖。^[5]
• 十二面體半形是將佩特森圖以五邊形嵌入實射影平面所產生的正則地區圖。^[6]
• p面形（有p個面的多面形）是一個形式為{2,p}的正則地區圖。^[7]

以下是位於歐拉示性數為正之曲面上的正則地區圖完整列表^[8]

χ	g	施萊夫利符號	頂點	邊	面	群	階數	圖		備註
2	0	{p,2}	p	p	2	C2 × Dihp	4p	Cp		多邊形二面體
2	0	{2,p}	2	p	p	C2 × Dihp	4p	p-fold K2		多面形
2	0	{3,3}	4	6	4	S4	24	K4		正四面體
2	0	{4,3}	8	12	6	C2 × S4	48	K4 ×（英語：Tensor product of graphs） K2		立方體
2	0	{3,4}	6	12	8	C2 × S4	48	K2,2,2（英語：Turán graph）		正八面體
2	0	{5,3}	20	30	12	C2 × A5	120			正十二面體
2	0	{3,5}	12	30	20	C2 × A5	120	K6 × K2		正二十面體
1	n1	{2p,2}/2	p	p	1	Dih2p	4p	Cp		多邊形二面體半形[9]
1	n1	{2,2p}/2	2	p	p	Dih2p	4p	p-fold K2		多面形半形[9]
1	n1	{4,3}/2	4	6	3	S4	24	K4		立方體半形
1	n1	{3,4}/2	3	6	4	S4	24	2-fold K3		八面體半形
1	n1	{5,3}/2	10	15	6	A5	60	佩特森圖		十二面體半形
1	n1	{3,5}/2	6	15	10	A5	60	K6		二十面體半形

下圖展示了3種在虧格為3之環面上的正則地區圖，並標上對應的施萊夫利符號。

• 
  {6,4}
• 
  {4,8}
• 
  {8,4}

四維環形多面體

正則地區圖也可以以環形多面體（英語：Toroidal_polyhedron）的形式存在。這種幾何結構是包裹在圓柱體的四維柱（英語：Duocylinder）表面上之歐氏平面鑲崁圖之有限部分。例如由正方形鑲嵌（施萊夫利符號：{4,4}）的局部包裹在圓柱體的四維柱表面上所構成的正則地區圖可以計為{4,4}_b,c^[10]。同理，若與正三角形鑲嵌（施萊夫利符號：{3,6}）或其對偶正六邊形鑲嵌（施萊夫利符號：{6,3}）的正則地區圖則可以計為{3,6}_b,c與{6,3}_b,c，其中b與c皆為整數^[11]。

正則地區圖對應的環形多面體的展開圖

{4,4}1,0 (v:1, e:2, f:1)	{4,4}1,1 (v:2, e:4, f:2)	{4,4}2,0 (v:4, e:8, f:4)	{4,4}2,1 (v:5, e:10, f:5)	{4,4}2,2 (v:8, e:16, f:8)
{3,6}1,0 (v:1, e:3, f:2)	{3,6}1,1 (v:3, e:9, f:6)	{3,6}2,0 (v:4, e:12, f:8)	{3,6}2,1 (v:7, e:21, f:14)	{3,6}2,2 (v:12, e:36, f:24)
{6,3}1,0 (v:2, e:3, f:1)	{6,3}1,1 (v:6, e:9, f:3)	{6,3}2,0 (v:8, e:12, f:4)	{6,3}2,1 (v:14, e:21, f:7)	{6,3}2,2 (v:24, e:36, f:12)

形式為{4,4}_m,0的正則地區圖可以對應到形式為{4,4 | m}的扭歪正多面體，其代表每個面都是正方形，且每個頂點都是4個正方形的公共頂點，並形成m邊形孔洞的幾何結構。其可以由四維m角柱體柱的面建構。^[12]

下圖為{4,4}_8,0從平面棋盤就構為環面的一個例子。這個例子可以不透過四維幾何結構完成建構。

參考文獻

1. Conder, Marston; Dobcsányi, Peter, Determination of all regular maps of small genus, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 2001, 81 (2): 224–242, doi:10.1006/jctb.2000.2008
2. Nedela, Roman, Maps, Hypermaps, and Related Topics (PDF), 2007 [2020-08-14], （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04）.
3. van Wijk, Jarke J., Symmetric tiling of closed surfaces: visualization of regular maps (PDF), Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics), 2009, 28 (3): 12, doi:10.1145/1531326.1531355, （原始內容 (PDF)存檔於2011-06-09）
4. Marston D.E. Conder and Jicheng Ma. Regular maps with simple underlying graphs. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 2015, 110: 1 – 18 [2020-08-14]. ISSN 0095-8956. doi:10.1016/j.jctb.2014.07.001. （原始內容存檔於2020-08-24）.
5. The hemicube. weddslist.com. [2020-08-14]. （原始內容存檔於2019-05-02）.
6. Gailiunas, Paul; et al. Polyhedral Models of the Projective Plane. Bridges 2018 Conference Proceedings (Tessellations Publishing). 2018: 543–546. 引文格式1維護：顯式使用等標籤 (link)
7. Weisstein, Eric W. (編). Hosohedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
8. Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6
9. Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-23）.
10. Coxeter 1980^[8], 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
11. Coxeter 1980^[8], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
12. Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262.