幾乎必然

在機率論中，如果一個事件發生的機率是1（或在勒貝格測度下是1），則稱該事件幾乎必然（英語：almost surely，縮寫為a.s.）發生。^[1][2]換句話說，此事件不發生所對應的事件集合可能是非空的，但該集合的機率是0。在測度論中，與本概念相似的概念是幾乎處處。

很多時候，在有限樣本空間的機率試驗中，幾乎必然和必然是沒有區別的（因為機率等於1的事件通常會包含樣本空間中的所有樣本）。但兩者的區別對於樣本空間是無窮集時就顯得很重要了^[3]，因為無窮集的非空子集的機率可以是0。

強大數定理中使用了幾乎必然的概念。

視上下文，有時也會使用同義詞幾乎一定（英語：almost certainly，縮寫為a.c.）或幾乎總是（英語：almost always，縮寫為a.a.）。幾乎從不則是幾乎必然的相反感念：若一個事件發生的機率是0，則稱該事件幾乎從不發生。^[1][4]

定義

令${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$為一機率空間。若${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中一個事件${\displaystyle E}$滿足${\displaystyle P(E)=1}$，則稱其幾乎必然發生。等價地，若${\displaystyle E}$不發生的機率是0，即${\displaystyle P(E^{C})=0}$，則稱${\displaystyle E}$幾乎必然發生。更一般地，若對於一個事件${\displaystyle E\subseteq \Omega }$（不一定要屬於${\displaystyle {\mathcal {F}}}$），存在一個零測集${\displaystyle N}$，滿足${\displaystyle E^{C}\subset N}$且${\displaystyle P(N)=0}$，則稱${\displaystyle E}$幾乎必然發生。^[5]

幾乎處處這一概念建立在機率測度${\displaystyle P}$上。如果需要強調該機率測度，通常會說事件${\displaystyle E}$是${\displaystyle P}$-幾乎必然發生的。

舉例

粗略地說，就算機率空間中存在著一個事件不包含的結果，一個事件還是可以「幾乎必然」發生。下面的例子中就是這樣的情況。

扔飛鏢

朝一個面積為1的正方形上扔飛鏢，而飛鏢總是只命中正方形上的一點。假設正方形上每一個點被命中的機率是相同的。因為正方形的面積是1，命中正方形上某個區域的機率就正好等於該區域的面積。例如，命中正方形右半邊的機率是0.5，因為其面積也是0.5。

令事件${\displaystyle E=}$「飛鏢正好命中正方形對角線上的點」。因為該區域（兩條交叉的線）的面積是0，事件${\displaystyle E}$發生的機率也是0。換句話說，飛鏢「幾乎從不」命中對角線；或者它「幾乎必然」不命中對角線，就算對角線上的點的集合併非空集，且飛鏢命中對角線上的點和命中正方形上其它任何點的機率都是相同的。

重複拋硬幣

重複拋一枚（可能是不均勻的）硬幣。如果令事件${\displaystyle H=}$正面朝上，${\displaystyle T=}$反面朝上，則對應的機率空間是${\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}$。假設拋這枚硬幣正面朝上的機率是${\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}$，而其對立事件，即硬幣反面朝上的機率是${\displaystyle P(T)=1-p}$。

重複拋這枚硬幣，並令${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$表示第1、2、...次拋的結果。假設每次拋硬幣的結果都是相互獨立的（即這些隨機變數是獨立同分布的）。考慮拋硬幣機率空間上的隨機變數序列${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$，${\displaystyle X_{i}(\omega )=\omega _{i}}$，也即每個${\displaystyle X_{i}}$記錄第${\displaystyle i}$次拋硬幣的結果。

在本例中，任意一個由無數個正面和反面組成的序列都是一個可能的結果。然而，存在一些這樣的序列，它們發生的機率是0。這是因為獨立同分布的假設意味著有${\displaystyle n}$次正面朝上的機率是${\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}}$。當${\displaystyle n\rightarrow \infty }$時，此機率趨向於0，因為假設了${\displaystyle p\in (0,1)}$。不論該硬幣有多不均勻，只要${\displaystyle p}$不會取0或1，前述的結論都會成立。^[6]

另外，事件「拋硬幣結果序列上至少有一個反面」也幾乎必然發生。但如果拋硬幣的次數是有限次，比如1,000,000次，則全部正面朝上的機率是${\displaystyle p^{1,000,000}\neq 0}$，而至少有一個反面的機率是${\displaystyle 1-p^{1,000,000}\neq 1}$，即不再是幾乎必然的。

漸進幾乎必然

在漸進分析中，若在一個集合序列上，某一性質發生的機率收斂到1，則稱它是漸進幾乎必然（英語：asymptotically almost surely，縮寫為a.a.s）的。例如，在數論中，根據質數定理，一個大數漸進幾乎必然是一個合數；在隨機圖論中，若存在一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，使得${\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}}$，則圖${\displaystyle G(n,p_{n})}$是漸進幾乎必然聯通的（其中${\displaystyle G(n,p)}$表示一個有${\displaystyle n}$個節點、邊的出現機率為${\displaystyle p}$的隨機圖）。^[7]

在數論中，漸進幾乎必然也稱作幾乎所有（英語：almost all），比如「幾乎所有數都是合數」。在圖論中，該術語有時也直接稱作「幾乎必然」。^[8]

參見

• 數學主題

• 幾乎
• 幾乎處處，測度論中的相關概念
• 依機率1收斂，也稱「幾乎必然收斂」或「幾乎處處收斂」
• 退化分布
• 無限猴子定理

參考資料

1. The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Almost. Math Vault. 2019-08-01 [2019-11-16]. （原始內容存檔於2020-02-28） （美國英語）.
2. Weisstein, Eric W. (編). Almost Surely. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-11-16]. （原始內容存檔於2021-08-13） （英語）.
3. Almost surely - Math Central. mathcentral.uregina.ca. [2019-11-16]. （原始內容存檔於2021-08-13）.
4. Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott. Finite Model Theory and Its Applications. Springer. 2007: 232. ISBN 978-3-540-00428-8.
5. Jacod, Jean; Protter. Probability Essentials. Springer. 2004: 37. ISBN 978-3-540-438717.
6. Williamson, Timothy. How probable is an infinite sequence of heads?. Analysis. 2007-07-01, 67 (3): 173–180 [2021-08-13]. ISSN 0003-2638. doi:10.1093/analys/67.3.173. （原始內容存檔於2021-03-08） （英語）.
7. Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad. A Sharp Threshold for Random Graphs with a Monochromatic Triangle in Every Edge Coloring. Memoirs of the American Mathematical Society (AMS Bookstore). January 2006, 179 (845): 3–4. ISSN 0065-9266. S2CID 9143933. doi:10.1090/memo/0845.
8. Spencer, Joel H. 0. Two Starting Examples. The Strange Logic of Random Graphs. Algorithms and Combinatorics 22. Springer. 2001: 4 [2021-08-13]. ISBN 978-3540416548. （原始內容存檔於2021-08-13）.

參見

• 幾乎處處，測度論中相關的概念

• 無限猴子定理，運用該術語的理論

參考書目

• Rogers, L. C. G.; Williams, David. Diffusions, Markov Processes, and Martingales. 1: Foundations. Cambridge University Press. 2000. ISBN 978-0521775946.
• Williams, David. Probability with Martingales. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. 1991. ISBN 978-0521406055.