事件 (機率論)

在機率論中，隨機事件（或簡稱事件）指的是一個被賦與機率的事物集合，也就是樣本空間中的一個子集。簡單來說，在一次隨機試驗中，某個特定事件可能出現也有可能不出現；但當試驗次數增多，我們可以觀察到某種規律性的結果，就是隨機事件。基本上，只要樣本空間是有限的，則在樣本空間內的任何一個子集合，都可以被稱為是一個事件。然而，當樣本空間是無限的時候，特別是不可數之時，就常常不能定義所有的子集為隨機事件了。因此，爲了定義一個機率空間，常常需要去掉樣本空間的某些子集，規定他們不能成為事件。

假設我們有一堆52張的撲克牌，並閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌，那麼用機率論的術語來說，我們實際上是在做一個隨機試驗。這時，我們的樣本空間是一個有著52個元素的集合，因為任意一張牌都是一個可能的結果。而一個隨機事件，則是這個樣本空間的任意一個子集（這個任意子集包括空集，一個元素的集合及多個元素的集合）。運用組合知識可以知道，隨機事件一共有 $2^{52}$ 種。當這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素（或者說它是一個單元素集合）的時候，稱這個事件為一個基本事件。比如說事件「抽到的牌是黑桃7」。當事件是空集時，稱這個事件為不可能事件。當事件是全集時，則稱事件是必然事件。其它還有各種各樣的事件，比如：

「抽到的牌是鬼牌」（也是不可能事件）
「抽到的牌是紅桃3」（基本事件）
「抽到的牌數字是9」（包含4個元素）
「抽到的牌是方塊」（包含13個元素）
「抽到的牌是紅顏色的並且數字小於等於10」（包含20個元素）
「抽到的牌不是紅桃3」（包含51個元素）

由於事件是樣本空間的子集，所以也可以寫成集合的形式。有時候寫成集合的形式可能會很困難。有時候也可以用文氏圖來表示事件，這時可以用事件所代表圖形的面積來按比例顯示事件的機率。

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當樣本空間有限，試驗中每個基本事件發生的可能性相同的時候，稱為古典概型。這時可以（也是一般用到的）取樣本空間的所有的子集作為事件。然而，當樣本空間不是有限的時候，特別是當樣本空間是實數的時候，就不能取所有的子集作為事件了。其中的根本原因在於機率的定義。一般來說，當研究一個隨機事件的時候，我們希望知道它發生的機率。事件發生的機率是一個介於0和1之間的數。當樣本空間是不可數的時候，如果我們取樣本空間所有的子集，那麼機率論的公理系統會產生數學上的矛盾，也就是說，會有一些子集無法被定義機率。具體地說，機率論的公理系統是由三個部份 $(\Sigma ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ 組成的，又稱為機率空間。這個空間包括：樣本空間 $\Sigma$ 、事件集合 ${\mathcal {F}}$ （又稱為事件體）以及定義在這上面的一個取機率的運算： $\mathbb {P}$ 。其中的事件集合 ${\mathcal {F}}$ 是一個σ-代數，而取機率的運算 $\mathbb {P}$ 需要滿足機率的加法公理（σ-Additive）：

如果一系列事件

A_{1},A_{2},\cdots

兩兩互斥（也就是說對任意的

i,j

，

A_{i}\cap A_{j}

都是空集。此亦稱為pairwise disjoint）那麼就有：

\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A_{i})

這個公理是符合一般人的直覺的：如果幾件事情互相之間相互排斥，那麼「它們幾個中有一個發生」的機率應該等於其中每一個發生的機率的和。

然而，對於不可數的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，會有一些子集，無論怎樣為他們定義機率，都會違反加法公理。^[1]

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一個反例

假設小明和小華玩一個遊戲，讓小華隨意說一個0到1之間的實數。小明爲了研究機率，選擇了所有[0,1]的子集作為機率集合。他將所有的0到1之間的有理數取出來。由於0到1之間的有理數是可數集合，所以可以做標號： $q_{1},q_{2},\cdots$ 。對於每一個0到1之間的實數 $a$ ，小明將 $a+q_{1},a+q_{2},\cdots$ 作為一個集合，如果其中有大於1的，就減去1。這個集合是由可數個數構成的，小明把它記作 $S_{a}$ 。構造多個這樣的集合 $S_{a}$ 滿足其並集是區間[0,1]，且它們之間兩兩不相交。然後將每個 $S_{a}$ 寫成：

S_{a}=s_{a,1},s_{a,2},\cdots

再令：

T_{1}=

遍歷所有

S_{a}

集合中的

s_{a,1}

所構成的集合。

T_{2}=

遍歷所有

S_{a}

集合中的

s_{a,2}

所構成的集合。

如此等等，

那麼所得到的事件（也就是集合） $T_{1},T_{2},\cdots$ 的並集也是區間[0,1]，而且它們之間兩兩不相交。由於這些事件之間地位相等，所以它們的機率 $\mathbb {P} (T_{n})$ 都是一樣的。如果 $\mathbb {P} (T_{n})>0$ ，那麼根據加法原則，

1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{1})=+\infty

而如果 $\mathbb {P} (T_{n})=0$ ，那麼根據加法原則，仍然有：

1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=0+0+\cdots =0

因此無論如何，都會導致矛盾。也就是說小明無法為事件 $T_{1}$ 定出一個機率。在一般的測度理論中，這種集合稱為（勒貝格）不可測集合。^[2]

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兩個隨機事件之間可以有各種各樣的關係。

包含關係：通常用符號 $\subset$ 表示。一個事件 $A$ 包含另一個事件 $B$ 記作： $B\subset A$ 。這時只要事件 $B$ 發生，那麼事件 $A$ 也一定發生。這個關係其實就是集合論中的包含關係。舉之前撲克牌的例子來說，假設事件 $A$ 是「抽出的牌上數字是8」，事件 $B$ 是「抽出的牌是梅花8」，那麼事件 $A$ 包含事件 $B$ ：只要抽出的是梅花8，牌上的數字自然就是8。

等價關係：兩個事件對應的子集完全相等，記作 $A=B$ 。例子：事件「抽出的牌花色是黑桃並且數字比3小並且數字是偶數」和事件「抽出的牌是黑桃2」就是等價的。

對立關係：兩個事件只能有一個發生，並且必然有一個發生，則它們是對立關係。這種關係對應的集合論術語是「補集」。

互斥關係：兩個事件只能有一個發生，但並不必然有一個發生。這時也稱兩個事件之間是互不相容的。

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獨立事件

如果兩個事件同時發生的機率等於它們各自發生的機率的乘積，那麼就稱這兩個事件是相互獨立的。比如說，「抽到的牌是紅桃」和「抽到的牌數字是4」就是相互獨立的，因為兩者同時發生——抽到的牌是紅桃4——的機率是52分之1，而「抽到的牌是紅桃」的機率是4分之1，「抽到的牌數字是4」的機率是13分之1，兩者相乘便是52分之1。