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在抽象代數中,正規子群或不變子群指一類特殊的子群。由正規子群,可以引導出商群的概念。埃瓦里斯特·伽羅瓦是最早認識到正規子群的重要性的人。
群G的子群N是正規子群,如果它在共軛轉換下不變;就是說對於每個N中元素n和每個G中的元素g,元素gng−1仍在N中。我們寫為
下列條件等價於子群N在G中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義:
注意條件(1)邏輯上弱於條件(2),條件(3)邏輯上弱於條件(4)。為此,條件(1)和條件(3)經常用來證明N在G中是正規子群,而條件(2)和(4)用來證明N在G中是正規子群的推論;而這些條件,尤其條件(7),可用於證明一個群不是單群。
給定一個群G,以及G的一個子群H,G的一個元素a,集合:
類似地,可以定義H關於a的右陪集:
可以證明:對於G中的兩個元素a、b,。因此aH和bH只有兩種關係:相等,或交集為空,即或者。
於是群G可以被分解成:
這個分解稱作群G的左陪集分解。類似地有群G的右陪集分解:
進一步地,可以證明由所定義的關係是一個等價關係,集合中的每個等價關係都可確定一個等價類,因此每個是一個等價類。每個中含有的元素個數是相等的。
此外,群G的左陪集分解與群G的右陪集分解間存在同構:
因此H的左陪集個數和右陪集個數是相等的,叫做H對G的指數。
對於一般的H,集合關於子集的積並不是一個群。對於G中的元素a、b,子集的積,但對於,不一定有。群G的正規子群或不變子群H使得關於子集的積是這個群的子群。這時H的左陪集和右陪集是一樣的,統稱陪集。陪集組成的群叫做G關於H的商群,記作。商群的目數等於H對G的指數。
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