數學分析中,分布(distribution)是廣義函數的一種,由法國數學家洛朗·許瓦茲首先於二十世紀五十年代引入,因此又稱許瓦茲分布(Schwartz distribution)、許瓦茲廣義函數[1](Schwartz generalized function)。分布推廣了普通意義上的函數概念:對於普通意義上不可導甚至不連續的函數,可以具備分布意義上的導數。事實上,任意局部可積的函數都有分布意義上的弱導數。在偏微分方程式的研究中,常常使用分布來表示方程式的廣義解函數,因為很多時候傳統意義上的解函數不存在或難以求出。分布理論在物理學和工程學中都十分有用,因為在應用中常會出現解或初始條件是分布的微分方程式,例如初始條件可能是一個狄拉克δ分布。
廣義函數的概念最早由謝爾蓋·索伯列夫在1935年提出。1940年代末,許瓦茲等人開始建立分布理論,首次提出了一個系統清晰的廣義函數理論。
接下來,我們定義Rn中開集U上的實值分布。在細微的調整之後,我們可以定義相應的複值分布,也可以將 Rn 替換為任何(仿緊)光滑流形。
首先需要定義U上的檢定函數空間 D(U) (即所謂的「測試函數」),定義其上的拓撲和極限。D(U)上的所有連續線性泛函構成的空間就是分布空間。
U上的分布定義為D(U)上的連續線性泛函。也就是說,如果一個實線性泛函(或複線性泛函)滿足連續性,即對D(U)中任意的收斂函數列,都有
那麼就稱此泛函為U上的一個分布。
另一個更具可操作性的定義是,如果D(U)上的一個實線性泛函(或複線性泛函)滿足以下的條件:
- 對任意的緊子集,都存在和,使得對任意支撐集在的檢定函數,都有
就稱之為U上的一個分布。如果存在的正整數使得對任意的,都有,那麼最小的這樣的稱為這個分布的階數(order),稱為一個階分布。
U上的分布集合記為D'(U),是D(U)的拓撲對偶空間。D'(U)中的元素和D(U)中的元素之間的對偶關係可以用尖括號表示:
在弱*拓撲下,D'(U)為一個局部凸的拓撲向量空間。其中,弱*收斂的定義為:D'(U)中序列弱*收斂到若且唯若對於任意的檢定函數,有
一個局部可積函數是指在U的任意緊子集上都勒貝格可積的函數。局部可積函數包括了所有的連續函數和所有的Lp可積函數。在以上定義的D(U)的拓撲中,每個局部可積的函數都對應著一個D(U)上的連續線性泛函,也就是D'(U)中的一個元素,記作。線性泛函作用在D(U)中任一個檢定函數上的取值是:
一般約定,在不至於引起混淆的時候,可以將和等同起來。比如說以上的取值等式也可以記作:
可以證明,兩個局部可積函數和對應的分布相同,若且唯若它們幾乎處處相等。與函數的分布類似,U上的每個Radon測度都有一個對應的分布,定義為:
與函數的對應分布一樣,測度對應的分布在不至於混淆的時候也可以和測度等同起來,比如將上式寫成。
可以注意到,檢定函數也是局部可積的,所以也有對應的分布。這些分布在D'(U)上是稠密的(對於以上定義的拓撲來說)。也就是說,任意一個分布都是某個檢定函數(分布)序列收斂的極限。對任意的檢定函數,都有:
- Benedetto, J.J., Harmonic Analysis and Applications, CRC Press, 1997.
- Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E., Generalized functions 1–5, Academic Press, 1966–1968.
- Hörmander, L., The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft. 256, Springer, 1983, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
- Kleinert, H.; Chervyakov, A., Rules for integrals over products of distributions from coordinate independence of path integrals (PDF), Europ. Phys. J., 2001, C 19 (4): 743–747 [2012-07-14], Bibcode:2001EPJC...19..743K, doi:10.1007/s100520100600, (原始內容存檔 (PDF)於2008-04-08).
- Kleinert, H.; Chervyakov, A., Coordinate Independence of Quantum-Mechanical Path Integrals (PDF), Phys. Lett., 2000, A 269: 63 [2012-07-14], doi:10.1016/S0375-9601(00)00475-8, (原始內容存檔 (PDF)於2008-04-08).
- Rudin, W., Functional Analysis 2nd, McGraw-Hill, 1991, ISBN 0-07-054236-8.
- Schwartz, L., Sur l'impossibilité de la multiplications des distributions, C.R.Acad. Sci. Paris, 1954, 239: 847–848.
- Schwartz, L., Théorie des distributions 1–2, Hermann, 1950–1951.
- Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971, ISBN 0-691-08078-X.
- Strichartz, R., A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, 1994, ISBN 0-8493-8273-4.
- Trèves, François, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press: 126 ff, 1967.
- M. J. Lighthill (1959). Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
- H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006)(also available online here (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.
- V.S. Vladimirov (2002). Methods of the theory of generalized functions. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
- Vladimirov, V.S., Generalized function, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Vladimirov, V.S., Generalized functions, space of, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Vladimirov, V.S., Generalized function, derivative of a, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Vladimirov, V.S., Generalized functions, product of, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
- Oberguggenberger, Michael, Generalized function algebras, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
存档副本. [2022-11-14]. (原始內容存檔於2022-11-14).