偽微分算子

數學分析中，偽微分算子是微分算子的推廣。偽微分算子在偏微分方程和量子場論等領域有廣泛的應用。

發展動機

常係數線性微分算子

設${\displaystyle u}$為一個定義在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的緊支撐的光滑函數，考慮下面的常數係數微分算子：

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

利用傅立葉變換，可以將這個微分算子用另外一種等價的形式表達：

首先將這個算子的傅立葉變換寫出，

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }}$

注意這裡已經將微分變換為頻率域中的乘法，所以整個算子的傅立葉變換成為一個頻率域中的多項式。我們一般稱其為一個符號（symbol）。

這個符號的傅立葉逆變換為

${\displaystyle (1)\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)dyd\xi }$

注意，上面的${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}}$表示了一個多重指標，而${\displaystyle D^{\alpha }}$則是利用這個多重指標定義的一個微分算子，具體可以寫為${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\dots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}$ ，其中${\displaystyle \partial _{j}}$表示對第${\displaystyle j}$個變量的微分。另外，各個係數${\displaystyle C_{\alpha }}$都是${\displaystyle \mathbb {C} }$中的常數。

從${\displaystyle (1)}$中不難發現，一個微分算子可以用它的傅立葉變換表示出來。類似地，一個偽微分算子也可以這樣定義：

${\displaystyle (2)\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi }$,

與${\displaystyle (1)}$的區別在於，這裡的${\displaystyle P(x,\xi )}$可以是一個更一般的函數。

式（1）是如何得到的

如上選取的${\displaystyle u}$，其傅立葉變換為

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)dy}$

而從傅立葉逆變換公式可以知道

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }u(y)dyd\xi }$

將${\displaystyle P(D)}$應用於這個${\displaystyle u}$，則有

${\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

由此就得到了${\displaystyle (1)}$。

利用偽微分算子表示偏微分方程的解

為了求解方程

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

我們可以形式地將傅立葉變換應用於方程兩邊，從而得到一個代數的方程

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )}$.

如果符號${\displaystyle P(\xi )}$對於任何${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$都不是${\displaystyle 0}$，那麼除以${\displaystyle P(\xi )}$後則有

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$

由傅立葉逆變換公式，則可以得到一個解

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )d\xi }$.

請注意我們的假設：

1. ${\displaystyle P(D)}$是一個常係數的微分算子。
2. 它的符號${\displaystyle P(\xi )}$永遠不為${\displaystyle 0}$。
3. ${\displaystyle u}$和${\displaystyle f}$都有傅立葉變換。

最後一個條件可以利用和分佈相關的定理減弱（這裡的分布不是統計中的分布，而是分析中的概念），而前面兩個條件則可以利用如下的方法減弱：

將${\displaystyle f}$的傅立葉變換寫出可以得到

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)dyd\xi }$.

此式的形式與${\displaystyle (1)}$非常相似，區別僅在${\displaystyle {\frac {1}{P(\xi )}}}$不是一個多項式函數，而是一個更一般的函數，因此引出下面的主題：

符號類和偽微分算子

我們核心的目的是通過公式${\displaystyle (1)}$，在允許使用更一般的${\displaystyle P(x,\xi )}$的條件下，定義算子${\displaystyle P(x,D)}$：

${\displaystyle P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi .}$

因此假設${\displaystyle P(x,\xi )}$屬於某個特定的符號類。

例如，如果${\displaystyle P(x,\xi )}$是一個${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$上無限可微的函數，並且對於所有${\displaystyle x,\xi }$和所有多重指標${\displaystyle \alpha ,\beta }$，以及某些給定的常數${\displaystyle C_{\alpha ,\beta }}$，給定的實數${\displaystyle m}$，${\displaystyle P}$都滿足

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

那麼${\displaystyle P}$就屬於一個Hörmander類（英語：Hörmander class），我們將它記為${\displaystyle S_{1,0}^{m}}$。

而對應的算子${\displaystyle P(x,D)}$則被稱為一個${\displaystyle m}$階的偽微分算子，並且屬於${\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}}$類。

性質

一個係數為有界光滑函數的${\displaystyle m}$階線性微分算子是一個${\displaystyle m}$階的偽微分算子。

兩個偽微分算子${\displaystyle P,Q}$的複合${\displaystyle PQ}$也是一個偽微分算子，而且${\displaystyle PQ}$的符號可以用${\displaystyle P}$和${\displaystyle Q}$的符號來計算。

一個偽微分算子的伴隨算子和轉置算子（英語：transpose operator）仍然是一個偽微分算子。

如果一個${\displaystyle m}$階微分算子是一個（${\displaystyle m}$階一致的）橢圓算子並且可逆（英語：invertable operator），那麼它的可逆算子是一個${\displaystyle -m}$階的偽微分算子，並且可以算出它的符號。這就意味著在某種意義下，人們可以利用偽微分算子的理論，精確地求解線性橢圓微分方程（英語：linear elliptic differential equations）。

一個微分算子是局部的，因為它只需要知道被作用的函數在某個點附近的某個鄰域中的值，就可以求出這個算子在這個點附近作用的效果。而偽微分算子有時也被非正式地被叫做偽局部的，因為它作用在一個分布上的時候，不會在這個分布的光滑部分產生新的奇點。

如同一個微分算子可以用${\displaystyle D=-id/dx}$的記號，以${\displaystyle P(x,D)}$表出（其中${\displaystyle P}$是${\displaystyle D}$的多項式，稱為符號），偽微分算子的符號可以用比多項式更一般的函數表示。一般而言，人們可以將一個偽微分算子的分析問題轉化為一個與它的符號相關的一系列代數問題，而這也是微局部分析（英語：microlocal analysis）的基本思想。

文獻

下面是一些標準的英文參考書：

• Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981. ISBN 0691082820
• M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag 2001. ISBN 354041195X
• Francois Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, (University Series in Mathematics), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0306404044
• F. G. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0521649714

外部連結

• Lectures on Pseudo-differential Operators （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）作者：M.S. Joshi，置於arxiv.org.