橢圓算子

橢圓算子是數學偏微分方程理論中的一類微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。橢圓算子定義為所有最高階導數的係數為正的微分算子，這意味著算子沒有實的特徵方向。

定義在環形上的拉普拉斯方程上的一個解。拉普拉斯算子是橢圓算子的最有名的一個例子。

橢圓算子是典型的位勢論，並且它們頻繁地出現在靜電學和連續介質力學中。橢圓算子的正則性意味著它的解通常是光滑函數（如果算子的係數是光滑的）。雙曲（英語：Hyperbolic partial differential equation）方程和拋物方程的穩定解通常要求解橢圓方程。

定義

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$域${\displaystyle \Omega }$上的線性微分算子${\displaystyle L}$

${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\partial }^{\alpha }u}$

被稱為橢圓算子，如果對任意${\displaystyle x\in \Omega }$，任意非零${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$滿足

${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\neq 0}$。

在許多應用中僅滿足上述條件還遠遠不夠，當${\displaystyle m=2k}$時可用一致橢圓條件代替它： ${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}$ 其中C是正常數。注意到橢圓性只依賴於最高階項。

非線性算子

${\displaystyle L(u)=F(x,u,(\partial ^{\alpha }u))_{|\alpha |\leq 2k}}$

是橢圓算子如果它關於${\displaystyle u}$的一階泰勒展開式在任意一點處都是線性橢圓算子。

實例：二階算子

為了說明問題，我們選取二階偏微分算子形式，

${\displaystyle P\phi =\sum _{k,j}a_{kj}D_{k}D_{j}\phi +\sum _{\ell }b_{\ell }D_{\ell }\phi +c\phi }$

其中${\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\partial _{x_{k}}}$.如果滿足高階項係數矩陣x

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}$

為正定實係數對稱矩陣，則這樣的算子叫做橢圓算子。

參看

• 數學主題

• 拋物偏微分方程
• 外爾引理