積空間

在拓撲學的相關領域中，積空間是指一族拓撲空間的笛卡兒積與其配備的自然拓撲結構，這個自然拓撲結構被稱為積拓撲（英語：Product topology）。

無窮積空間

直觀動機上，一族拓撲空間笛卡兒積，最「自然」的拓撲，應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲；換句話說，設有集合族 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ，具有指標集 ${\displaystyle I}$ 與指標函數 ${\displaystyle x}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}$

且有相應的一族拓撲 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 與指標函數 ${\displaystyle \tau }$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathcal {T}}}$

${\displaystyle (\forall i\in I)[\tau (i){\text{ is topology of }}x(i)]}$

若 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ 就是無窮乘積 ${\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}}$ 上滿足需求的那個拓撲，那對於任意指標 ${\displaystyle j\in I}$ ，以下的第 ${\displaystyle j}$ 投影映射：

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)}$

${\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]}$

必須對所有開集 ${\displaystyle o_{j}\in \tau (j)}$ 須滿足：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\in \tau _{\pi }}$

也就是說，${\displaystyle \pi _{j}}$ 必須 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$-${\displaystyle \tau (j)}$ 連續。

首先從 ${\displaystyle \pi _{j}}$ 的定義，對任意 ${\displaystyle f}$ 有：

${\displaystyle \left[f\in {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\right]\Leftrightarrow \left\{\left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)\wedge {\big [}f(j)\in o_{j}{\big ]}\right\}}$

那如果取個一對一函數 ${\displaystyle o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}}$ 滿足：

${\displaystyle (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}}$

${\displaystyle o(j)=o_{j}}$

那以上的要求就可以寫為：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})=\prod _{o}o(I)\in \tau _{\pi }}$

也就是除了 ${\displaystyle j\in I}$ 取小開集，其他都選全集的無窮乘積，應該也要是 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ ，應該是包含：

${\displaystyle \left\{\prod _{o}o(I)\,{\Bigg |}\,(\exists j\in I)\left\{\left(o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}\right)\wedge (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}\wedge {\big [}o(j)\in \tau (j){\big ]}\right\}\right\}}$

的最粗拓撲，總結如下：

定義 — 設有集合族 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ，具有指標集 ${\displaystyle I}$ 與指標函數 ${\displaystyle x}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}$

且有相應的一族拓撲 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 與指標函數 ${\displaystyle \tau }$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathcal {T}}}$

${\displaystyle (\forall i\in I)[\tau (i){\text{ is topology of }}x(i)]}$

取：

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{\prod _{o}o(I)\,{\Bigg |}\,(\exists j\in I)\left\{\left(o:I\to \bigcup {\mathcal {T}}\right)\wedge (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}\wedge {\big [}o(j)\in \tau (j){\big ]}\right\}\right\}}$

那在 ${\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}}$ 上包含 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的最粗拓撲 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ 被稱為 ${\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}}$ 的積拓撲，而 ${\displaystyle \left(\prod _{x}{\mathcal {X}},\,\tau _{\pi }\right)}$ 被稱為相應的積空間。

有限積空間

如果指標集為有限，則積拓撲有更簡單的表述；這是因為可以免除用函數定義無窮乘積的迂迴途徑，而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間一節來炮製更簡明的有限積拓撲：

設 ${\displaystyle (X_{1},\,\tau _{1}),\,(X_{2},\,\tau _{2}),\,\dots ,\,(X_{n},\,\tau _{n})}$ 都是拓撲空間，若對任意自然數指標 ${\displaystyle j\leq n}$ 來說，以下的投影映射 ${\displaystyle \pi _{j}}$：

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to x(j)}$

${\displaystyle \pi _{j}(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})=a_{j}}$

對於 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ 上的「自然拓撲 」${\displaystyle \tau _{\pi }}$ ，取任意開集 ${\displaystyle O_{j}\in \tau _{j}}$ 應滿足：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\in \tau _{\pi }}$

也就是說，${\displaystyle \pi _{j}}$ 都應 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$-${\displaystyle \tau _{j}}$ 連續。那從 ${\displaystyle \pi _{j}}$ 的定義，對任意 ${\displaystyle p=(p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$ 有：

${\displaystyle \left[p\in {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\right]\Leftrightarrow (\forall i\in \mathbb {N} )\left\{(p_{i}\in X_{i})\wedge (p_{j}\in O_{j})\right\}}$

換句話說，這個「自然拓撲」必須滿足：

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})=X_{1}\times \dots \times X_{j-1}\times O_{j}\times X_{j+1}\times \dots \times X_{n}\in \tau _{\pi }}$ （${\displaystyle 1<j\leq n}$）

${\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{1})=O_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}\in \tau _{\pi }}$

那稍微推廣一下，對任意滿足以下條件的一對一有限開集序列：

${\displaystyle V:\mathbb {N} \to \bigcup \{\tau _{1},\,\tau _{2},\,\dots ,\,\tau _{n}\}}$

${\displaystyle V(i)=V_{i}\in \tau _{i}}$

要求：

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}\in \tau _{\pi }}$

那因為 ${\displaystyle X_{i}\in \tau _{i}}$ （母集合當然是開集合），這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件；反過來，因為：

${\displaystyle V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}=\bigcap _{j=1}^{n}X_{1}\times \dots \times X_{j-1}\times V_{j}\times X_{j+1}\times \dots \times X_{n}}$

所以根據開集的有限交集也是開集的性質，「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述，可以作如下的定義：

定義 — 設 ${\displaystyle (X_{1},\,\tau _{1}),\,(X_{2},\,\tau _{2}),\,\dots ,\,(X_{n},\,\tau _{n})}$ 都是拓撲空間，取：

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{\prod _{i=1}^{n}V_{i}\,{\Bigg |}\,V_{i}\in \tau _{i}\right\}}$

那在 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ 上包含 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的最粗拓撲 ${\displaystyle \tau _{\pi }}$ 被稱為 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ 的有限積拓撲，而 ${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}X_{i},\,\tau _{\pi }\right)}$ 被稱為相應的有限積空間。

例子

從實直線R上的標準拓撲開始，定義n份R的乘積，就得到普通的Rⁿ上的歐幾里得拓撲。

康托爾集同胚於可數個離散空間{0,1}的乘積而無理數的空間同胚於可數個自然數集的乘積，每個集合也是採用離散拓撲。

性質

如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓撲 T₁,T₂,...,T_n 的基，則集合積 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘積拓撲 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘積空間X加上標準投影，可以用如下的泛性質來刻劃：若Y是拓撲空間，並且對於每個I中的i，f_i : Y → X_i是一個連續映射，則存在恰好一個連續映射f : Y → X滿足對於每個I中的i如下交換圖成立：

乘積空間的特性

這表明乘積空間是拓撲空間範疇中的積。從上述泛性質可以得出映射f : Y → X連續若且唯若f_i = p_i o f對於所有I中的i連續。在很多情況下，檢查分量函數f_i的連續性更為方便。檢驗映射f : Y→ X是否連續通常更難；可以試著用某種方式利用p_i連續這一點。

除了連續，標準投影p_i : X → X_i也是開映射。這表示每個積空間的開子集投影到X_i上還是開集。反過來不真：若W是到所有X_i的投影都是開集的積空間的子空間，則W不一定是X中的開集。（例如，W = R² \ (0,1)².）標準投影通常不是閉映射。

積拓撲有時稱為點式收斂拓撲，因為：X上的一個序列 （或者網）收斂若且唯若它所有到X_i的投影收斂。特別是，如果考慮所有在空間X = R^I 對於所有I上的實值函數，在積拓撲上的收斂就是函數的點式收斂。

積拓撲的一個重要定理就是吉洪諾夫定理：任何緊緻空間的乘積是緊緻的。對於有限乘積很容易證明，而其一般情況等價於選擇公理。

和其它拓撲概念的聯繫

• 可分離性
  • 每個T₀空間的積是T₀的。
  • 每個T₁空間的積是T₁的。
  • 每個豪斯多夫空間的積是豪斯多夫的。
  • 每個正則空間的積是正則的。
  • 每個吉洪諾夫空間的積是吉洪諾夫空間。
  • 正規空間的積不一定是正規的。
• 緊緻性
  • 每個緊緻空間的積是緊緻的（吉洪諾夫定理）
  • 局部緊緻空間的積不一定是局部緊緻的。
• 連通性
  • 每個連通（路徑－連通）空間是連通的（路徑－連通的）。
  • 每個遺傳性不連通空間的積是遺傳性不連通的。

每個"局部看起來"一個標準投影F × U → U的空間稱為纖維叢。

參看

• 盒拓撲
• 不交並 (拓撲學)
• 商空間
• 子空間拓撲