质心

本条目介绍的是古典力学中的质心。关于狭义相对论中的有关概念，详见相对论质心。

质心为多质点系统的质量中心。若对该点施力，系统会沿着力的方向运动、不会旋转。质点位置对质量加权取平均值，可得质心位置。以质心的概念计算力学通常比较简单。质心对应的英文有 center of mass 与 barycenter（或 barycentre，源自古希腊的 βαρύς heavy + κέντρον centre^[1]）。后者指两个或多个物体互绕物体的质量中心。

Barycenter 在天文学和天文物理上是很重要的一个观念。从一个物体的质心转移一个距离至彼此的质心，可以简化成二体问题来进行计算。在两个天体当中，有一个比另一个大许多的情况下（在相对封闭的环境），质心通常会位于质量较大的天体之内。因而较小的天体会在轨道上绕着共同的质心运动，而较大的仅仅只会略微"抖动"。地月系统就是这样的状况，俩者的质心距离地球的中心4,671公里，而地球的半径是6,378公里。当两个天体的质量差异不大时，质心通常会介于两者之间，而这两个天体会呈现互绕的现象。冥王星和它的卫星夏戎，还有许多双小行星和联星，都是这种情况的例子。木星和太阳的质量相差虽然超过1,000倍，但因为它们之间的距离较大，也是这一类型的例子^[2]。

在天文学，质心坐标是非转动坐标，其原点是两个或多个天体的质心所在。国际天球参考系统是质心坐标之一，它的原点是太阳系的质心所在之处。

在几何学，质心不等同于重心，是二维形状的几何中心。

二体问题

主条目：二体问题

新视野号所见冥王星和它的卫星夏戎的系统的质心。

性质

质心不一定要在有重力场的系统中才会有意义，而重心则否。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。对于密度均匀、形状对称分布的物体，其质心位于其几何中心处^[3]。

在两质点系统中，取质心为原点，两质点连线为x轴，则两质点坐标${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$与质量${\displaystyle m_{1}}$与${\displaystyle m_{2}}$有如下关系：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}}$^[3]

例子

双星互绕时它们的质心位置：

两颗星体质量差不多，例如休神星。	两颗星体质量不同，例如冥王星与冥卫一。	两颗星体质量有很大的不同，例如地球与月球。	两颗星体质量有极大的不同，例如太阳与地球。
两颗星体以椭圆轨道互绕，此状况通常称为联星。

重心

重力作用的平均位置，定义为各质点相对于重心(质心)的位置矢量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。

均匀重力场

在地球表面附近，重力场可被认定为均匀且平行向下，所以重心会等同于质心。 在物理学，使用“质心”来表示质量分布的好处，从以合力来考虑连续体的重力可以看出。考虑一个体积为V的体系（不一定是刚体），并设在物体内位置矢量为r的点的密度为ρ(r)。在均匀的重力场中，每个点r的场的作用力f由下式给出：

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g{\vec {k}}=-\rho (\mathbf {r} )dV\,g{\vec {k}},}$

其中dm是在点r的质量，g 是重力加速度，以及k 是定义垂直方向的单位矢量。 在这个体系中选择位置矢量为R的点为参考点，计算出点r所受的合力：

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {f} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV(-g{\vec {k}})=-Mg{\vec {k}},}$

以及点r相对点R合力矩：

${\displaystyle \mathbf {T} =\int _{V}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )=\int _{V}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times (-g\rho (\mathbf {r} )dV{\vec {k}})=\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV\right)\times (-g{\vec {k}}).}$

如果这个参考点R正好选在质心，则有

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV=0,}$

这就意味着合力矩T=0。因为其合力矩为零，可以视为体系所有的质量集中于质心，而没有体系自身转动的效应。

非均匀重力场

常用于天体力学

平行场

一些不均匀的引力场中可以通过可变但并行的场来建模： g(r) = g(r)n,其中n是一些常数单位矢量。虽然不均匀的引力场不能完全平行，但如果物体足够小，这种近似可能是有效的。^[4]然后可以将重心定义为构成组成物体位置的特定加权平均值。即是质心平均超过每个粒子的质量，重心平均超过每个粒子的重量：

${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {cg} }={\frac {1}{W}}\sum _{i}w_{i}\mathbf {r} _{i},}$

此处 ${\displaystyle \mathbf {w} _{\mathrm {i} }}$ 是 i粒子和W 所有粒子的（标量）总重量。^[5] 该方程始终具有独特的解决方案，并且在并行场近似中，它与扭矩要求兼容。.^[6] 一个常见的例子涉及地球领域的月亮。使用加权平均定义，月球的重心比其质心更低（更接近地球），因为它的下部受地球引力的影响更大。^[7]

(以下为未翻译内容，欢迎协助翻译)

标题

球形场

如果外部重力场是球对称的，那么它相当于点质量的场 M ，质点在球对称的中心 r。此时，重心可定义为一点，在该点上物体的合力可由 牛顿万有引力定律得到:

${\displaystyle {\frac {GmM(\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} _{\mathrm {cg} }-\mathbf {r} |^{3}}}=\mathbf {F} ,}$

此处G是引力常数，m是物体的质量。若合力非零，该等式有独一解，而且此解满足扭矩上的要求。^[8] A convenient feature of this definition is that if the body is itself spherically symmetric, then r_cg lies at its center of mass. In general, as the distance between r and the body increases, the center of gravity approaches the center of mass.^[9]

Another way to view this definition is to consider the gravitational field of the body; then r_cg is the apparent source of gravitational attraction for an observer located at r. For this reason, r_cg is sometimes referred to as the center of gravity of M relative to the point r.^[10]

参见

• 二体问题

参考资料

1. Oxford English Dictionary, Second Edition.
2. MacDougal, Douglas W. Newton's Gravity: An Introductory Guide to the Mechanics of the Universe. Berlin: Springer Science & Business Media. December 2012: 199. ISBN 1-4614-5444-1.
3. 赵凯华 罗蔚饮. 胡凯飞 , 编. 新概念物理教程.力学 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2004年7月: 124. ISBN 978-7-04-015201-2.
4. Beatty 2006，第45页. sfn error: no target: CITEREFBeatty2006 (help)
5. Beatty 2006，第48页 harvnb error: no target: CITEREFBeatty2006 (help); Jong & Rogers 1995，第213页 harvnb error: no target: CITEREFJongRogers1995 (help).
6. Beatty 2006，第47–48页. sfn error: no target: CITEREFBeatty2006 (help)
7. Asimov 1988，第77页 harvnb error: no target: CITEREFAsimov1988 (help); Frautschi et al. 1986，第269页 harvnb error: no target: CITEREFFrautschiOlenickApostolGoodstein1986 (help).
8. Symon 1964，第259–260页 harvnb error: no target: CITEREFSymon1964 (help); Goodman & Warner 2001，第117页 harvnb error: no target: CITEREFGoodmanWarner2001 (help); Hamill 2009，第494–496页 harvnb error: no target: CITEREFHamill2009 (help).
9. Symon 1964，第260, 263–264页. sfn error: no target: CITEREFSymon1964 (help)
10. Symon 1964，第260页. sfn error: no target: CITEREFSymon1964 (help)

外部链接

• 优酷视频：创意表演：神一般的力量与平衡术 （页面存档备份，存于互联网档案馆）