标准分数

标准分数（Standard Score，又称z-score，中文称为Z-分数或标准分或标准计分^[1]）在统计学中是一种无因次值，就是一种纯数字标记，是借由从单一（原始）分数中减去总体的平均值，再依照总体（母集合）的标准差分割成不同的差距，按照z值公式，各个样本在经过变换后，通常在正、负五到六之间不等。其算数平均数必为0，标准差必为1。

正态分布跟标准分数之间的关系。

概念

标准分数与使用在高速筛选分析中的“Z-约数”（z-factor）不同，甚至有时两者会互相混淆。

其约化过程被称为“标准化”（standardizing）。

标准分数可借由以下公式求出：

${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }}$

其中 ${\displaystyle \sigma \neq 0}$。

其中

• ${\displaystyle x\,}$ 是需要被标准化的原始分数
• ${\displaystyle \mu \,}$ 是总体的平均值
• ${\displaystyle \sigma \,}$ 是总体的标准差

Z值的量代表着原始分数和总体平均值之间的距离，是以标准差为单位计算。在原始分数低于平均值时Z则为负数，反之则为正数。换句话说，Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。

关键点是，计算Z值时需要“总体”的平均值和标准差，而不是“样本”的平均值和标准差。因此需要了解总体的统计数据资料。

但是要确实了解总体真正的标准差往往是不切实际的，除非是在“标准化测验”之类的情形中，整个总体都是经过测量的。在其他情况中，几乎不可能测量总体的每一个组成单位，因此通常会使用随机的样本来评估标准差。例如：“有吸烟习惯的总人数”就不是经过一个一个测量而得出的。

在这种情况下，标准分数为：

${\displaystyle z={\frac {x-{\bar {x}}}{S}}}$

其中 ${\displaystyle S\neq 0}$

其中

• ${\displaystyle {\bar {x}}}$ 是样本平均值

• ${\displaystyle S}$ 是样本的标准差

当总体为正态分布时，其百分位数可能是由标准分数和普通表格所决定的。

数理统计学中的标准化

在数理统计学中，随机变量“X”是使用理论（总体）的平均值和标准差所标准化的结果：

${\displaystyle Z={X-\mu \over \sigma }}$

其中 μ = E(X) 为平均值、σ² = Var(X) 为X的概率分布之方差

若随机变量无法确定时，则为算术平均数：

${\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

因此经过标准化的结果为：

${\displaystyle Z={{\bar {X}}-\mu \over \sigma /{\sqrt {n}}}.}$

应用

• 在日本，标准分数常被用在计算学力测验的“学力偏差值”，并且依此判断进入理想大学的可能性。
• 在智力测验时，用来计算“智力标准分数”，在教育的用途上，常和“智商”一起被当作参考的依据。

高考标准分

截至2020年，中国大陆地区曾有福建省和海南省实行标准分制度以计算高考总分。

外部链接

• 英文 Z-分数计算机 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 能在“累积概率”数值（Q）和Z-分数（标准分数）之间变换。
• 英文 免费的Z-分数（标准分数）计算机 输入样本平均值、样本标准差和尚未标准化的数据之后，即可算出标准分数。

参见

• 统计学
• 标准九分
• Z检验

参考资料

1. 樂詞網：標準計分. 国家教育研究院乐词网. [2024-01-13]. （原始内容存档于2024-01-13） （中文（台湾））.