大二十面化截半二十面体

大二十面化截半二十面体（great icosified icosidodecahedron）又称为大二十面截半二十面体（Great icosicosidodecahedron）^[1]是一种星形均匀多面体，由20个正三角形、12个正五边形和20个正六边形组成^[2][3]，索引为U₄₈，对偶多面体为大二十角星化六十面体（英语：Great icosacronic hexecontahedron）^[4]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry），可以视为截角十二面体的刻面（英语：Faceting）多面体^[5]，也可以视为是大双三角十二面截半二十面体的边刻面（edge-faceting）立体^[6]。

大二十面化截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大二十角星化六十面体（英语：Great icosacronic hexecontahedron）
识别
名称	大二十面化截半二十面体 great icosicosidodecahedron great icosified icosidodecahedron
参考索引	U48, C62, W88
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	giid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3/2 5 | 3 3 5/4 | 3
性质
面	52
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=52, E=120, V=60 （χ=-8）
组成与布局
面的种类	20个正三角形 12个正五边形 20个正六边形
顶点图	5.6.3/2.6
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
5.6.3/2.6 （顶点图） 大二十角星化六十面体（英语：Great icosacronic hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

大二十面化截半二十面体与大双三角十二面截半二十面体相关，差别在于，在大二十面化截半二十面体中没有十角星，但两者所有的边皆是相同的，在大双三角十二面截半二十面体为十角星的位置是大二十面化截半二十面体的凹陷处^[7]:137。

性质

大二十面化截半二十面体共由52个面、120条边和60个顶点组成。^[8]在其52个面中，有20个正三角形面、12个正五边形面和20个正六边形面^[9]。在其60个顶点中，每个顶点都是2个正六边形面、1个正三角形面和1个正五边形面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五边形、六边形面、反向相接的正三角形和六边形面的顺序排列，在顶点图中可以用(5.6.3/2.6)^[10]或(6.3/2.6.5)^{[9][11][12][8]}或5,6,3/2,6^[13]来表示。若将大二十面化截半二十面体作为一个简单多面体，也就是将自相交的部分分离开来，则这个立体会有1232个外部面^[11][14][15]。

表示法

大二十面化截半二十面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[16]、（o5/3x3x5*a）^[17]或（x5/4o3x3*a）^[17]，在威佐夫记号中可以表示为3/2 5 | 3^{[18][16][19][12][9]}。

尺寸

若大二十面化截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[4][3]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {34-6{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 1.134228596}$

边长为单位长的大二十面化截半二十面体，中分球半径为：^[3]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.0180739209}$

二面角

大二十面化截半二十面体有两种二面角，分别为六边形面和五边形面的二面角以及六边形面和三角形面的二面角。^[3][6]

其中，六边形面和五边形面的二面角角度约为79.18768度：^[3]

${\displaystyle \angle }$六边形${\displaystyle ,}$五边形${\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.382085796\approx 79.187683036^{\circ }}$

而六边形面和三角形面的二面角为5平方根的三分之一之反余弦值，角度约为41.81度：^[6]

${\displaystyle \angle }$六边形${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 0.7297276562\approx 41.810315^{\circ }}$

分类

大二十面化截半二十面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此大二十面化截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[20]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[21]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

大二十面化截半二十面体与截角十二面体共用相同的顶点布局^[11]同时其亦与大双三角十二面截半二十面体和大十二面二十面体共用相同的边布局。

截角十二面体

大二十面化截半二十面体

大双三角十二面截半二十面体

大十二面二十面体

参见

• 均匀多面体列表（英语：List of uniform polyhedra）

参考文献

1. Jim McNeill. Uniform Polyhedra. orchidpalms.com. [2022-08-22]. （原始内容存档于2015-09-24）.
2. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. （原始内容存档于2021-03-02）.
3. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Great Icosicosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
4. Weisstein, Eric W. (编). Great Icosicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
5. Vera Viana. concave semiregular polyhedra. veraviana.net.
6. Richard Klitzing. great icosicosidodecahedron, giid. bendwavy.org. [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-09-24）.
7. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
8. Maeder, Roman. 48: great icosicosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-22]. （原始内容存档于2020-12-03）.
9. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #53, great icosicosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-22）.
10. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
11. Robert Webb. Great Icosicosidodecahedron. software3d.com. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
12. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
13. Jim McNeill. Uniform Polyhedra. orchidpalms.com. [2022-08-22]. （原始内容存档于2015-09-24）.
14. D. A. Quadling. Inequalities and Optimal Problems in Mathematics and the Sciences. By G. Stephenson. Pp. viii, 166. £1·50. 1971. (Longman.). The Mathematical Gazette. 1972-10, 56 (397): 256–257 [2022-08-22]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3617025 （英语）.
15. D. A. Quadling. Mathematics Made Difficult. By Carl E. Linderholm. Pp. 207. £2·75. 1971. (Wolfe.). The Mathematical Gazette. 1972-10, 56 (397): 255–256 [2022-08-22]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3617023 （英语）.
16. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
17. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
18. Eric W. Weisstein. Great Icosicosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25 [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-11-29）.
19. George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. [2022-08-22]. （原始内容存档于2018-09-19）.
20. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
21. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.