平方根

在数学中，一个数${\displaystyle x}$的平方根${\displaystyle y}$指的是满足${\displaystyle y^{2}=x}$的数，即平方结果等于${\displaystyle x}$的数。例如，4和-4都是16的平方根，因为${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$。

算术平方根的数学表示式

任意非负实数${\displaystyle x}$都有唯一的非负平方根，称为算术平方根或主平方根（英语：principal square root），记为${\displaystyle {\sqrt {x}}}$，其中的符号${\displaystyle {\sqrt {\quad }}}$称作根号。例如，9的算术平方根为3，记作 ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$，因为${\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}$并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（英语：radicand），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。

正数${\displaystyle x}$有两个互为相反数的平方根：正数${\displaystyle {\sqrt {x}}}$与负数${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$，可以将两者一起记为${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$。

负数的平方根在复数系中有定义。而实际上，对任何定义了开平方运算的数学对象都可考虑其“平方根”（例如矩阵的平方根）。

• 在MicroSoft的试算表软件Excel与大部分编程语言中以 "sqrt()"表示求算术平方根。

历史

耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的六十进制数字 1;24,51,10。^[1]六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。

莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。^[2]

古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。^[3]

中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。

古代未有划一的平方根符号时，人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。

中世纪时，拉丁语中的latus（正方形边）的首个字母“L”被不少欧洲人采用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中则用横线当成latus的简写，在被开方的数下画一线。

最有影响的是拉丁语的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜划，像P和x的合体）；⎷（没有上面的横划）是由克里斯托费尔·鲁登道夫在1525年的书Coss首次使用，据说是小写r的变型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人们熟知的开方运算符号${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,\,}}}$。

正数

函数${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$图，半抛物线与垂直准线。

${\displaystyle x}$的平方根亦可用指数表示，如：

${\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}$

${\displaystyle x}$的绝对值可用${\displaystyle x^{2}}$的算数平方根表示：

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}$

若正整数${\displaystyle x}$是平方数，则其平方根是整数。若正整数${\displaystyle x}$不是平方数，则其平方根是无理数。

对于正数${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$，以下式成立：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}$

负数与复数

正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作${\displaystyle i}$（也可以记作${\displaystyle j}$，比如电学场景中${\displaystyle i}$一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为${\displaystyle i^{2}=-1}$，故${\displaystyle i}$是-1的平方根，而且${\displaystyle (-i)^{2}=i^{2}=-1}$，所以${\displaystyle -i}$也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是${\displaystyle i}$，如果${\displaystyle x}$是任意非负实数，则${\displaystyle -x}$的算术平方根就是：

${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}}$

例如-5的平方根有两个，它们分别为${\displaystyle {\sqrt {5}}i}$和${\displaystyle -{\sqrt {5}}i}$。

之所以等式右侧（包括其对应的负值）是${\displaystyle -x}$的算术平方根，是因为：

${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x}$

负数的两个平方根为一对共轭的纯虚数。

对于负数${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$，以下式成立：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}$

虚数的算术平方根

复数平面中，${\displaystyle i}$的两个平方根

虚数${\displaystyle i}$的算术平方根可以根据以下公式计算：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，满足

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}}$

就可以得到方程组

${\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}}$

的解：

${\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

其中，算术平方根即为

${\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设

${\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

就可以推出

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}}$

复数的算术平方根

极坐标下，复数${\displaystyle z}$的几个方根

对于任何一个非零的复数${\displaystyle z}$都存在两个复数${\displaystyle w}$使得${\displaystyle w^{2}=z}$。

首先，我们将复数${\displaystyle x+iy}$ 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的${\displaystyle (x,y)}$点。这个点也可以写作极坐标的${\displaystyle (r,\varphi )}$，其中${\displaystyle r\geq 0}$，是该点到坐标原点的距离，${\displaystyle \varphi }$则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（${\displaystyle x}$轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作${\displaystyle re^{i\varphi }}$。如果

${\displaystyle z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi }$

那么我们将${\displaystyle z}$的算术平方根定义为：

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}}$

因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ 的泰勒级数也适用于复数${\displaystyle x(\left\vert x\right\vert <1)}$。

上面的公式还可以用三角函数的形式表达：

${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}$

代数公式

如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式：^[4][5]

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}}$

其中，方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；主值（英语：Principal value）实部永远非负。

在虚数里，平方根函数的值不是连续的，以下等式不一定成立：

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$

所以这是错误的：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$

多项式

参见：因式分解

例：若${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle {\sqrt {x^{4}+2x^{2}+1}}={\sqrt {(x^{2}+1)^{2}}}=|x^{2}+1|=x^{2}+1\,\!}$

2的算术平方根

数学史中，最重要的平方根可以说是${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，它代表边长为1的正方形的对角线长，是第一个公认的无理数，也叫毕达哥拉斯常数，其值到小数点14位约为1.4142135623731。

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是无理数，可由归谬法证明：

1. 设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$为有理数，可表示为${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$，其中${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$为互素之正整数。
2. 因为${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2}$，故${\displaystyle p^{2}}$是2的倍数，${\displaystyle p}$也是2的倍数，记为${\displaystyle 2k}$，其中${\displaystyle k}$为正整数。
3. 但是${\displaystyle 2q^{2}=p^{2}=4k^{2}}$，故${\displaystyle q^{2}=2k^{2}}$，${\displaystyle q^{2}}$是2的倍数，${\displaystyle q}$也是2的倍数。
4. 依上两式，${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$都是2的倍数，和${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$为互素之正整数的前题矛盾。依归谬法，得证${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不是有理数，即${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是无理数。

计算方法

约数计算

${\displaystyle {\sqrt {24}}={\sqrt {2^{2}\cdot 6}}={\sqrt {2^{2}}}{\sqrt {6}}=2{\sqrt {6}}}$。

注意，6 的素因数分解为 2 × 3，不能写成某个数的平方，因此 ${\displaystyle 2{\sqrt {6}}}$ 就是最简结果 。

中算开方

北宋贾宪增乘开平方法

《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法；明代数学家王素文，程大位发明珠算开平方法，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字^[6]。

长除式算法

长除式算平方根的方式也称为直式开方法，原理是${\displaystyle .(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b}$。

1. 首先将要开平方根的数从小数点分别向右及向左每两个位一组分开，如98765.432内小数点前的65是一组，87是一组，9是一组，小数点后的43是一组，之后是单独一个2，要补一个0而得20是一组。如1 04.85 73得四组，顺序为1' 04. 85' 73'。
2. 将最左的一组的数减去最接近又少于它的平方数，并将该平方数的开方（应该是个位数）记下。
3. 将上一步所得之差乘100，和下一组数加起来。
4. 将记下的数乘20，然后将它加上某个个位数，再乘以该个个位数，令这个积不大于但最接近上一步所得之差，并将该个个位数记下，且将上一步所得之差减去所得之积。
5. 记下的数一次隔两位记下。
6. 重复第3步，直到找到答案。
7. 可以在数字的最右补上多组的00'以求得理想的精确度为止。

下面以${\displaystyle {\sqrt {200}}}$为例子：

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421}$

四舍五入得答案为14.14。

事实上，将算法稍作改动，可以开任何次方的根，详见n次方算法。

利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下：

${\displaystyle {\sqrt {1}}}$	${\displaystyle =\,}$	1
${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \approx }$	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \approx }$	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
${\displaystyle {\sqrt {4}}}$	${\displaystyle =\,}$	2
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	${\displaystyle \approx }$	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle \approx }$	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	${\displaystyle \approx }$	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	${\displaystyle \approx }$	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
${\displaystyle {\sqrt {9}}}$	${\displaystyle =\,}$	3
${\displaystyle {\sqrt {10}}}$	${\displaystyle \approx }$	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
${\displaystyle {\sqrt {11}}}$	${\displaystyle \approx }$	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
${\displaystyle {\sqrt {12}}}$	${\displaystyle \approx }$	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
${\displaystyle {\sqrt {13}}}$	${\displaystyle \approx }$	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
${\displaystyle {\sqrt {14}}}$	${\displaystyle \approx }$	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
${\displaystyle {\sqrt {15}}}$	${\displaystyle \approx }$	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
${\displaystyle {\sqrt {16}}}$	${\displaystyle =\,}$	4
${\displaystyle {\sqrt {17}}}$	${\displaystyle \approx }$	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
${\displaystyle {\sqrt {18}}}$	${\displaystyle \approx }$	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
${\displaystyle {\sqrt {19}}}$	${\displaystyle \approx }$	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
${\displaystyle {\sqrt {20}}}$	${\displaystyle \approx }$	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

牛顿法

如果要求${\displaystyle S\,(S>1)}$的平方根，选取${\displaystyle 1\,<\,x_{0}\,<\,S}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)}$

例子：求${\displaystyle {\sqrt {125348}}}$至6位有效数字。

${\displaystyle x_{0}=3^{6}=729.000\,\!}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191}$

${\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045}$

${\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045}$

因此${\displaystyle {\sqrt {125348}}\approx 354.045}$.

连分数

平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为：
${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$
${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]}$
${\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]}$
${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$
${\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]}$
${\displaystyle {\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]}$
${\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]}$
${\displaystyle {\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]}$
${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$
${\displaystyle {\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]}$
${\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]}$
${\displaystyle {\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]}$
${\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]}$
${\displaystyle {\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]}$
${\displaystyle {\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]}$
${\displaystyle {\sqrt {16}}=4}$
${\displaystyle {\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]}$
${\displaystyle {\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]}$
${\displaystyle {\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]}$
${\displaystyle {\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]}$

连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。

巴比伦方法

主条目：巴比伦方法（英语：Babylonian method）

巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根）

1. 预测一个平方根${\displaystyle x}$，初始另一个值${\displaystyle y}$，且${\displaystyle xy=N}$
2. 求预测值与初始值的均值：${\displaystyle x={\frac {x+y}{2}}}$, ${\displaystyle y={\frac {N}{x}}}$
3. 比较${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的差值是否达到精度，如果无，继续步骤

重复的算术运算

这个方法是从佩尔方程演变过来的，它通过不断减去奇数来求得答案。

尺规作图

问题

给定线段AB和1，求一条长为${\displaystyle {\sqrt {AB}}}$的线段。

解法

1. 画线AB，延长BA至C使${\displaystyle AC=1}$
2. 以BC的中点为圆心，OC为半径画圆
3. 过A画BC的垂直线，垂直线和圆弧交于D，AD即为所求之长度

证明

将整个过程搬到直角座标上，已知AC=1，设

• O=${\displaystyle (0,0)}$
• AB=${\displaystyle n}$

1. 直径为BC的圆就是${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}$（圆的方程式：${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$）（其中${\displaystyle r}$表示半径。）
2. 将${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)}$（A,D所在的x座标）代入上面的方程式
3. ${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}$
4. 解方程，得${\displaystyle y={\sqrt {n}}}$。

另也可参见射影定理。

射影定理（图）

参见

• 方根
• 增乘开平方法
• 二项式定理
• 牛顿法

外部链接

• Earliest Uses of Symbols of Operation（英文）
• The History of Mathematical Symbols: The radical symbol
• 开方公式的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 平方根计算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）

参考资料

• 数学主题

1. Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. （原始内容存档于2020-03-12）.
2. Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
3. Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.
4. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. （原始内容存档于2016-04-23）., Section 3.7.27, p. 17 互联网档案馆的存档，存档日期2009-09-10.
5. Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. （原始内容存档于2016-04-23）.
6. 劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O