自由积

在数学的群论中，自由积（英语：free product，法语：produit libre）是从两个以上的群构造出一个群的一种操作。两个群G和H的自由积，是一个新的群G ∗ H。这个群包含G和H为子群，由G和H的元素生成，并且是有以上性质的群之中“最一般”的。自由积一定是无限群，除非G和H其一是平凡群。自由积的构造方法和自由群（由给定的生成元集合所能构造出的最一般的群）相似。

自由积是群范畴中的余积。

建构方式

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘积：

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

其中s_i是G或H的元。这种字可以用以下的操作简化：

• 除去其中的（G或H的）单位元，
• 将其中的g₁g₂一对元素以其在G中的积代替，将其中的h₁h₂一对元素以其在H中的积代替。

每个简约字都是G的元素和H的元素交替的积，例如：

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

自由积G ∗ H的元素是以G和H形成的简约字，其上的运算是将两字接合后简化。

例如若G是无穷循环群<x>，H是无穷循环群<y>，则G ∗ H的元素是x的幂和y的幂交替的积。此时G ∗ H同构于以x和y生成的自由群。

设${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$是群的一个族。用${\displaystyle G_{i}}$形成的字，也可以用上述操作简化为简约字。仿上可定义出${\displaystyle G_{i}}$的自由积${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$。

展示

设

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

是G的一个展示（S_G是生成元的集合，R_G是关系元的集合），又设

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

是H的一个展示。那么

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其关系是G的关系元和H的关系元所组成。（两者都是不交并。）

性质

• 将${\displaystyle G_{i_{0}}}$自然地映射到${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$的群同态是内射，故此这个群同态将${\displaystyle G_{i_{0}}}$嵌入到${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$中为子群。

泛性质

自由积亦可由以下泛性质定义：设G是群，${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$是由群组成的一个族，有一族群同态${\displaystyle (\phi _{i}\colon G_{i}\to G)_{i\in I}}$。那么存在唯一的群同态${\displaystyle \phi \colon *_{i\in I}G_{i}\to G}$，使得对所有${\displaystyle i_{0}\in I}$都有

${\displaystyle \phi _{i_{0}}=\phi \circ \iota _{i_{0}}}$

其中${\displaystyle \iota _{i_{0}}\colon G_{i_{0}}\to *_{i\in I}G_{i}}$是把${\displaystyle G_{i_{0}}}$嵌入到${\displaystyle *_{i\in I}G_{i}}$中的群同态。

共合积

共合积（英语：amalgamated (free) product或free product with amalgamation，法语：produit (libre) amalgamé）是自由积的推广。设G和H是群，又设F是另一个群，并有群同态

${\displaystyle \phi \colon F\to G}$ 及 ${\displaystyle \psi \colon F\to H}$

对F中所有元素f，在自由积G ∗ H中加入关系

${\displaystyle \phi (f)\psi ^{-1}(f)=e}$

便得出其共合积。换言之，在G ∗ H中取最小的正规子群N，使得上式左方的元素都包含在内，则商群

${\displaystyle (G*H)/N}$

就是共合积${\displaystyle G*_{F}H}$。

共合积可视为在群范畴中图表${\displaystyle G\leftarrow F\rightarrow H}$的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，两个路径连通的拓扑空间沿着一个路径连通子空间接合的并，其基本群是这两个拓扑空间的基本群的共合积。

共合积及与之相近的HNN扩张，是讨论在树上作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。

参考

• Free product. PlanetMath.
• Free product with amalgamated subgroup. PlanetMath.
• Pierre de la Harpe. Topics in Geometric Group Theory. Chicago and London: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8.