塞弗特-范坎彭定理

代数拓扑中的塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理，将一个拓扑空间的基本群，用覆盖这空间的两个开且道路连通的子空间的基本群来表示。

定理叙述

设${\displaystyle X}$为拓扑空间，有两个开且道路连通的子空间${\displaystyle U_{1},U_{2}}$覆盖${\displaystyle X}$，即${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$，并且${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$是非空且道路连通。取${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$中的一点${\displaystyle x_{0}}$为各空间的基本群的基点。那么从${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$到${\displaystyle U_{1}}$及${\displaystyle U_{2}}$的包含映射导出相应基本群的群同态：（以下省略基本群中的基点。）

${\displaystyle \phi _{1}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{1})}$

${\displaystyle \phi _{2}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{2})}$

塞弗特－范坎彭定理指出${\displaystyle X}$的基本群，是${\displaystyle U_{1},U_{2}}$的基本群的共合积：

${\displaystyle \pi _{1}(X)=\pi _{1}(U_{1})*_{\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\pi _{1}(U_{2})}$

用范畴论来说，${\displaystyle \pi _{1}(X)}$是在群范畴中图表

${\displaystyle \pi _{1}(U_{1})\leftarrow {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\rightarrow \pi _{1}(U_{2})}$

的推出。

这定理可以推广至${\displaystyle X}$的任意多个开子空间的覆盖： 设

• ${\displaystyle X}$为道路连通拓扑空间，${\displaystyle x_{0}}$为${\displaystyle X}$的一点，
• ${\displaystyle \{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$由道路连通的开集组成，为${\displaystyle X}$的开覆盖，
• 任何一个${\displaystyle U_{\lambda }}$都有点${\displaystyle x_{0}}$，
• 对任何${\displaystyle \lambda ,\mu \in \Lambda }$，都有${\displaystyle \nu \in \Lambda }$，使得${\displaystyle U_{\lambda }\cap U_{\mu }=U_{\nu }}$。

当${\displaystyle U_{\lambda }\subset U_{\mu }}$，令

${\displaystyle \phi _{\lambda \mu }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(U_{\mu })}$

为由包含所导出的群同态。又令

${\displaystyle \psi _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(X)}$

为由${\displaystyle U_{\lambda }\subset X}$所导出的群同态。那么${\displaystyle \pi _{1}(X)}$有下述的泛性质：

设${\displaystyle H}$为群，对所有${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$有群同态${\displaystyle \rho _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to H}$，使得若${\displaystyle U_{\lambda }\subset U_{\mu }}$，则

${\displaystyle \rho _{\mu }\circ \phi _{\lambda \mu }=\rho _{\lambda }}$。

那么存在唯一的群同态${\displaystyle \sigma :\pi _{1}(X)\to H}$，使得对所有${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$，都有

${\displaystyle \rho _{\lambda }=\sigma \circ \psi _{\lambda }}$。

这个泛性质决定唯一的${\displaystyle \pi _{1}(X)}$。（不别群同构之异。）

参考

• Massey, William. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 127. Springer-Verlag. 1991.