网 (数学)

在拓扑学和数学的相关领域里，网（英语：Net）是序列的广义化，用来统一极限不同的概念和将其广义至任意的拓扑空间。网的极限对一般拓扑空间扮演的角色，就好比序列的极限之于第一可数空间（例如度量空间）。

一个序列通常以为全序集合的自然数做为索引。网广义化了此一概念，以把索引集合上的次序关系削弱成有向集合。

网于公元1922年首次由E. H.摩尔与赫曼·莱尔·史密斯（英语：Herman L. Smith）提出。另一相关的概念－滤子则于公元1937年由昂利·嘉当所发展。

定义

设X是一拓扑空间，X中的网是指一由某一有向集合A到X的函数。

设A是一有向集合，通常会把由A到X的网写成(x_α)，以用来表示A的元素α映射到X的元素x_α上。通常用≥来标记由A所给定的二元关系。

例子

当自然数是一有向集合且序列是定义域为自然数的函数时，每一序列都会是一个网。

另一重要例子如下。给定拓扑空间上的一点x，让N_x标记为所有包含x的邻域的集合。然后，N_x会是个有向集合，其方向由内含的颠倒给定，即S ≥ T当S包含在T里时。对在N_x内的S，让x_S标记为S内的一点。然后，x_S便会是一个网。当S对≥而言为增加时，网内的点s_S会被限制在x的递减邻域内，直观地说，这使得x_S在某些意义上时必须趋向x。下面将把这一极限的概念讲述的更清楚。

网的极限

若(x_α)是一由有向集合A到X的网，且若Y是X的子集，则我们说(x_α)是最终于Y，若存在一在A内的α能使得任一在A内会有β ≥ α的β，其点x_β会在Y内。

若(x_α)是拓扑空间X内的一网，且x是X的一元素，我们说这一个网收敛至x或称有极限x，并写做

lim x_α = x

当且仅当

对任一x的邻域U，(x_α)会最终于U。

直观地说，这表示x_α会很靠近x，若α取得够大。

注意，上述所举的在一点x的邻域系统上的网根据定义是会确实地收敛至x了。

网的极限的例子

• 收敛数列

• 实变数的函数极限：lim_{x → c} f(x)。这里，我们根据距c的距离在集合R\{c}内取向。

• 黎曼和的网的极限，用来黎曼积分的定义上。在此例子中，其有向集合为积分区间分割的集合，以内含以其偏序。相似的事情也被用来黎曼-斯蒂尔吉斯积分的定义上。

追加定义

若D和E为有向集合，且h为一由D到E的函数，则h被称为共尾，若对任一在E内的e，总存在一在D内的d会使得当q为D的元素且q ≥ d时，h(q) ≥ e。换句话，其值域h(D)会共尾于E。

若D和E为有向集合，h为由E到E的共尾函数，且φ是以E为基的集合X的网，则φoh称做φ的子网。所有的子网都是这种类型，依其定义。

若φ是一以有向集合D为底的集合X的网，且A为X的子集，则φ频繁地在A，当对于任一在D内的α，存在一在D的β且β ≥ α以使φ(β)在A内。

集合X的网φ称做普遍的（或超网），若对于任一X的子集A，φ会最终于A或会最终于X-A。

性质

几乎所有拓扑概念都能以网与极限的语言表述。这可以作为直觉的南鍼，因为网的极限在概念上近于序列的极限，后者在度量空间理论中被广泛地运用。

• 拓扑空间之间的函数${\displaystyle f:X\to Y}$在一点${\displaystyle x\in X}$连续当且仅当对于每个网${\displaystyle (x_{\alpha })}$，若

${\displaystyle \lim x_{\alpha }=x}$

则有

${\displaystyle \lim f(x_{\alpha })=f(x)}$

若将“网”换为“序列”，则此定理一般非真。当空间${\displaystyle X}$非第一可数时，必须考虑比自然数集更广的有向集。

• 一般而言，空间${\displaystyle X}$的网可以有多个极限。当${\displaystyle X}$为豪斯多夫空间时，极限是唯一的；反之，若${\displaystyle X}$非豪斯多夫空间，则存在${\displaystyle X}$中的一个网，使得它有两个不同极限，因此豪斯多夫性质可以用网的极限刻划。注意到此结果有赖于有向条件，以一般的预序或偏序为指标的集合仍可能有多个极限。

• 给定子集合${\displaystyle U\subset X}$，则${\displaystyle x}$属于${\displaystyle U}$的闭包若且为若存在网${\displaystyle (x_{\alpha })}$，使得${\displaystyle x_{\alpha }\in U}$而且${\displaystyle x}$为其极限。因此可以用网与极限刻划闭包运算，从而刻划开集与闭集。

• 空间${\displaystyle X}$是紧致的，当且仅当每个网${\displaystyle x_{\alpha }}$都有个有极限的子网。这是Bolzano-Weierstrass定理与海涅-博雷尔定理的推广。

• 乘积空间中的网的极限由其投影决定：若${\displaystyle X=\prod X_{i}}$，则${\displaystyle \lim(x_{\alpha })=x}$当且仅当${\displaystyle \forall i,\;\lim \pi _{i}(x_{\alpha })=\pi _{i}(x)}$

• 若${\displaystyle f:X\to Y}$是连续函数，${\displaystyle (x_{\alpha })}$是超网，则${\displaystyle (f(x_{\alpha }))}$亦然。

另见

滤子的理论也提供了在一般拓扑空间内有关收敛的定义。

在一致空间（例如度量空间）中，可以将柯西序列的定义推广为柯西网，由此导出柯西空间的定义。网 (x_α)是柯西网，如果对于所有周围V存在γ使得对于所有α, β ≥ γ，(x_α, x_β)是V的成员。

参考

E. H. Moore and H. L. Smith (1922). A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121.