波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理（英语：Bolzano–Weierstrass theorem）是数学中，尤其是拓扑学与实分析中，用以刻画 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的紧集的基本定理，得名于数学家伯纳德·波尔查诺与卡尔·魏尔施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一个子集${\displaystyle E}$是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当${\displaystyle E}$是有界闭集。

历史

这个定理最早由伯纳德·波尔查诺证明，当他在证明介值定理时，附带证明了这个定理，但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔查诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

基础概念

• 子列：也称为子序列。一个序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的一个子列是指在${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$中抽取无穷多个元素，然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是：如果存在一个从${\displaystyle \mathbb {N} }$到${\displaystyle \mathbb {N} }$的严格单调递增的映射${\displaystyle \phi }$，使得${\displaystyle a_{\phi (n)}=b_{n},\;\forall n\in \mathbb {N} }$，就称${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$是${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的一个子列。
• 有界闭集：${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界闭集概念建立在给定的拓扑和度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价，所以可以将${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$视为装备了欧几里德度量的度量空间（并且可以定义相应的范数）。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的子集${\displaystyle E}$有界，当且仅当所有${\displaystyle E}$中元素${\displaystyle x}$的范数小于一个给定常数${\displaystyle K}$。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
• 序列紧致：称一个集合${\displaystyle S}$是序列紧致的，是指每个由集合${\displaystyle S}$中元素所组成的数列都包含收敛的子列，并且该子列收敛到集合${\displaystyle S}$中的某个元素。

定理

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示：

定理 1：

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都至少包含一个收敛的子列。^[1]:56

从这个定理出发，在给定的有界闭集${\displaystyle F}$中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从${\displaystyle F}$的封闭性可知，这个子列作为${\displaystyle F}$的一部分，其收敛的极限必然也在${\displaystyle F}$中。所以可以推知：

推论：

任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界闭集必然序列紧致。^[1]:163

这个推论给出了${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中集合序列紧致的充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：

定理 2：

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的一个子集${\displaystyle E}$是序列紧致的，当且仅当${\displaystyle E}$是有界闭集。^[1]:163

由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。^[2]:132

证明

证明的关键是定理的核心部分，也就是定理1：任一${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的有界序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都至少包含一个收敛的子列。

引理：

任何实数列必然包含单调的子列。^[1]:55

引理的证明：^[1]:55-56

设有实数列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，定义集合：${\displaystyle X=\{a_{k};\ \forall n\geq k,\ a_{k}\geq a_{n}\}}$。集合中的每个元素，都比序列中排在其后的所有元素都大。

• 如果${\displaystyle X}$中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$的子列，并且单调递减，构造完毕。
• 如果${\displaystyle X}$中元素个数有限，那么设${\displaystyle N}$为${\displaystyle X}$中元素的下标中最大的一个。对任意${\displaystyle n>N}$，考虑${\displaystyle a_{n}}$，${\displaystyle a_{n}}$不在集合${\displaystyle X}$中，所以${\displaystyle a_{n}}$之后至少会有一个元素大于${\displaystyle a_{n}}$。换句话说，序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$里面排在${\displaystyle a_{N}}$后面的任一元素，它后面都必然还有一个比它大的元素。于是取${\displaystyle k_{0}=N+1}$，${\displaystyle \scriptstyle k_{1}>k_{0}}$为第一个大于${\displaystyle a_{k_{0}}}$的元素的下标，${\displaystyle \scriptstyle k_{2}>k_{1}}$为第一个大于${\displaystyle a_{k_{1}}}$的元素的下标，依此类推，就可以得到${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的一个单调递增的子列。

综上可得，任何实数列必然包含单调的子列。

定理的证明：^[1]:447

先考虑一维（也就是${\displaystyle n=1}$）的情况。给定有界的实数列${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，依据数列的单调收敛定理，这个子列必然收敛。

对于高维（${\displaystyle n\geqslant 2}$）的情况，证明的思路是取多次子列。

设${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=(a_{1k},a_{2k},\cdots ,a_{nk})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{n}}$为一个有界序列，则${\displaystyle n}$个实数列${\displaystyle (a_{ik})_{k\in \mathbb {N} },1\leq i\leq n}$都是有界数列。于是存在${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$的子列${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$使得${\displaystyle (a_{1\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$收敛。但是${\displaystyle (a_{\phi _{1}(k)})_{k\in \mathbb {N} }}$仍是有界数列，因而存在子列${\displaystyle (a_{\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$使得${\displaystyle (a_{2\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{\in \mathbb {N} }}$也收敛（注意这里${\displaystyle (a_{1\phi _{2}(\phi _{1}(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$必然是收敛的）。在进行类似的${\displaystyle n}$次操作后，我们就可以得到一个子列，使得${\displaystyle \forall 1\leq i\leq n,\ (a_{i\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$都收敛，也就是说存在子列${\displaystyle \ (a_{\phi _{n}(\cdots \phi _{2}(\phi _{1}(k))\cdots )})_{k\in \mathbb {N} }}$收敛。证毕。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质

在有限维度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

定义：

设${\displaystyle K}$为度量空间${\displaystyle (E;\;d)}$的子集。若${\displaystyle K}$中任一序列${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$都包含一个收敛的子列，其极限也是${\displaystyle K}$中元素，就称${\displaystyle K}$具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。^[1]:598

如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中，波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质：所有${\displaystyle K}$的开覆盖都有限子覆盖^[1]:602。

参考来源

1. Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner. Elementary Real Analysis. CreateSpace. 2008. ISBN 9781434843678 （英语）.
2. Mustafa A. Akcoglu, Paul F.A. Bartha, Dzung Minh Ha. Analysis in Vector Spaces. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118164594.

• Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Bolzano-Weierstrass theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• A proof of Bolzano–Weierstrass Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• PlanetMath: proof of Bolzano–Weierstrass Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Proof of Bolzano–Weierstrass Theorem as a rap （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Demonstration of Bolzano–Weierstrass Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）