域扩张

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域扩张（英语：Field extensions）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为环扩张（英语：Ring_extension）。

定义

设K和L是两个域。如果存在从K到L的域同态ι，则称(L,ι)是K的一个域扩张，记作L/K或K⊆L、K⊂L^[1]:9。K称为域扩张的基域，L称为K的扩域^[2]:2。如果某个域F既是K的扩域，又是L的子域，则称域扩张F/K是域扩张L/K的子扩张，称F（域扩张L/K的）中间域。

域扩张的记法L/K只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为L:K。

另外，因为ι是域同态，所以ι是单射^[3]。由于K是域，所以ι(K)是一个L的同构于K的子域。很多时候也直接省略ι，直接将K视为L的一个子域^[1]:9。为了记叙方便，下文中将依情况使用这种省略方式^{[N 1]}。

设有域扩张L/K，给定一个由L中不属于ι(K)的元素组成的集合S，考虑L中所有同时包含ι(K)和S的子域，其中有一个“最小的”^{[N 2]}，称为“在K中添加（集合）S生成的扩域”，记作K(S)。它是所有同时包含ι(K)和S的域的子域^[2]:4-5。如果集合S只有一个元素a，则称域扩张K(S)/K为单扩张，对应的扩域一般简记作K(a)。a称为这个域扩张的本原元。

每个域扩张中，扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间。设有域扩张L/K，将L中元素看作向量，K中元素看作系数，可以定义L中的域加法运算作为向量的加法运算，同时可以定义K中元素作为系数与L中元素的数乘运算。可以验证，在这样定义下，L是一个K-向量空间^[1]:9[2]:2。它的维数称为域扩张的次数或度数，一般记作[L:K]^[1]:9[2]:2。次数为1的扩张，扩域和基域同构，称为平凡扩张。次数有限的域扩张称为有限扩张，否则称为无限扩张^[1]:9[2]:2。

例子

复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$的扩域，而${\displaystyle \mathbb {R} }$则是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的扩域。这样，显然${\displaystyle \mathbb {C} {\big /}\mathbb {R} }$也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$。因为${\displaystyle \mathbb {C} }$可以看作是以${\displaystyle \{1,i\}}$为基的实向量空间。故扩张${\displaystyle \mathbb {C} {\big /}\mathbb {R} }$是有限扩张^[1]:10。${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i)}$，所以这个扩张是单扩张。

集合${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}};\;a,b,\in \mathbb {Q} \}}$是在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中添加${\displaystyle {\sqrt {2}}}$生成的扩域，显然也是一个单扩张。它的次数是2，因为${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$可作为一个基。${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限扩张也称为代数数域，在代数数论有重要地位^[2]:2。

有理数的另一个扩张域是关于一个素数p的p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。它与${\displaystyle \mathbb {R} }$类似，是有理数域完备化得到的数域。但由于使用的拓扑不同，所以与${\displaystyle \mathbb {R} }$有着截然不同的性质。

对任何的素数p和正整数n，都存在一个元素个数为pⁿ的有限域，记作GF(pⁿ)。它是有限域GF(p)（即${\displaystyle \mathbb {Z} {\big /}p\mathbb {Z} }$）的扩域。

给定域K和以K中元素为系数的K-不可约多项式P^{[N 3]}，P为K上的多项式环K[X]的元素。P生成的理想是极大理想，因此K[X]/P是域，而且是K的扩域。其中不定元X是多项式P的根。

给定域K，考虑所有以K中元素为系数的有理函数，即可以表示为两个以K中元素为系数的多项式P、Q之比：P/Q的函数。它们构成一个域，记作K(X)，是多项式环K[X]的分式域。它是域K的扩域，次数为无限大^[1]:10。

基本性质

设有域扩张L/K，则扩域L与K有相同的加法和乘法单位元。加法群 (K, +) 是 (L,+) 的一个子群，乘法群 (K^×, ·) 是 (L^×, ·) 的一个子群。因此，L与K有相同的特征。

设有域扩张L/K及某个中间域F，则域扩张F/K和L/F的次数乘积等于L/K的次数^[1]:10[2]:9：

${\displaystyle [L:K]=[L:F]\cdot [F:K].}$

代数元与超越元

主条目：代数扩张

给定域扩张L/K，如果L中一个元素a是某个以K中元素为系数的（非零）多项式（以下简称为K-多项式）的根，则称a是K上的一个代数元，否则称其为超越元^[1]:10。如果L中每个元素都是K上的代数元，就称域扩张L/K为代数扩张，否则称其为超越扩张^[1]:11。例如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$和${\displaystyle i}$都是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的代数元，而e与π都是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的超越元^[1]:11。${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的代数元和超越元分别叫做代数数与超越数。

每个有限扩张都是代数扩张，反之则不然^[2]:10-11。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张L/K，如果L中元素要么属于K，要么是K上的超越元，则称L是K的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张，如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。

极小多项式

主条目：极小多项式

给定域扩张L/K，如果L中一个元素a是K上的代数元，那么在所有使得f(a) = 0的首一K-多项式f中，存在一个次数最小的，称为a在K上的极小多项式，记为π_a^[1]:11-12。设π_a为n次多项式，则中间域K(a)等于所有以a为不定元的K-多项式的集合。更具体地说，等于所有以a为不定元的、次数严格小于n的K-多项式的集合：K(a) = K[a] = K_n-1[a]。这说明K(a)中任何元素b都可以写成${\displaystyle b=\lambda _{1}+\lambda _{2}a+\cdots +\lambda _{n}a^{n-1}}$的形式。其中${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})}$是n个K中元素。由于π_a是极小多项式，所以可推出：${\displaystyle \{1,a,\cdots ,a^{n-1}\}}$是中间域K(a)作为K-向量空间的基。扩张K(a)/K的次数是[K(a) : K] = n.

可分裂域与代数闭包

主条目：可分裂域和代数闭域

分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张，将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张L/K，称一个K-多项式f在L中可分裂，如果f可以写成：

${\displaystyle f=\kappa (X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{k}),\;\kappa \in K,\;\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{k}\in L}$

的形式，即f的每个根都是L中的元素^[2]:27-28。如果f在L中可分裂，但不在L的任何一个包含K的真子域中可分裂（也就是说L是令f在其中可分裂的“最小”的域扩张），就称L是f在K上的可分裂域^[2]:28。

给定域K，如果所有K-多项式在K都可分裂，则称K为代数闭域^[2]:30。给定代数扩张L/K，如果L是代数闭域，则称其为K的代数闭包，一般记作K^alg[2]:31。给定K，则它所有的代数闭包都是K-同构的^{[N 4][2]:35}。

域扩张的自同构群

除了将扩域看作基域上的向量空间外，另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的自同构群。给定域扩张L/K，L上的一个自同构σ被称为K-自同构，当且仅当σ限制在K上的部分是平凡的（即为恒等映射）^[2]:15-16：

${\displaystyle \forall x\in K,\;\sigma (x)=x.}$

所有的K-自同构组成一个群，称为域扩张的自同构群，记作Aut(L/K)。这些自同构描绘了K“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域L的域结构不变^[2]:15-16。

正规、可分与伽罗瓦扩张

主条目：正规扩张和伽罗瓦扩张

伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理，在此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域之间建立了一一对应的关系，从而给出了中间域的清晰描述。

一般定义伽罗瓦扩张是正规且可分的域扩张^[2]:42。一个域扩张L/K称为正规扩张，如果对任何一个以K中元素为系数的不可约多项式P，只要它有一个根在L中，则它的所有根都在L中，也就是说可以分解为L上一次因式的乘积^[2]:36。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张，它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张L/K称为可分扩张，如果L中每个元素在K上的极小多项式是可分的，即（在 K的一个代数闭包中）没有重根^[2]:42。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出：一个域扩张L/K是伽罗瓦扩张，当且仅当它是某个以K中元素为系数的可分多项式的分裂域^[2]:42。

伽罗瓦扩张的自同构群称为其伽罗瓦群，记作Gal(L/K)。它的阶数（群中元素个数）等于伽罗瓦扩张的次数：[L:K]= | Gal(L/K) |。伽罗瓦理论基本定理说明，当伽罗瓦扩张是有限扩张的时候，给定Gal(L/K)的任一个子群H，唯一存在一个中间域K⊂L^H⊂L与之对应，这个域L^H恰好是L中对所有的H中的自同构固定的元素的集合^[2]:51：

${\displaystyle L^{H}=\{x;\;\forall \sigma \in H,\;\sigma (x)=x\}}$

这种对应关系被称作伽罗瓦对应。给定Gal(L/K)的子群H，L^H被称为H的到达域。伽罗瓦对应建立了特定条件下域扩张与群论之间转化的纽带，通过研究特定群的结构，可以给出域扩张的仔细刻画。

相关条目

• 域论
• 代数扩张

注释

1. 即，在不需要强调ι的时候，可以默认基域K是扩域L的子域。
2. 称某个代数结构是“最小”的，是指它是所有满足条件的代数结构的子集。如果承认佐恩引理，则这样的“最小”者一定存在：它是所有满足条件的代数结构的交集。下文同。
3. 这里的“多项式”指单变量多项式，下文同。
4. 即两者间存在环同构φ，并且它限制在K上的部分是平凡的（恒等映射）。

参考来源

1. Antoine Chambert-Loir. A Field Guide to Algebra. Springer（插图版）. 2005. ISBN 9780387214283 （英语）.
2. Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插图版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英语）.
3. Francis Borceux, George Janelidze. Galois Theories. Cambridge University Press（插图版, 再版）. 2001: Preface: x. ISBN 9780521803090 （英语）.