矩生成函数

在概率论和统计学中，一个实数值随机变量的矩母函数（moment-generating function）又称矩生成函数，矩亦被称作动差，矩生成函数是其概率分布的一种替代规范。 因此，与直接使用概率密度函数或累积分布函数相比，它为分析结果提供了替代途径的基础。 对于由随机变量的加权和定义的分布的矩生成函数，有特别简单的结果。 然而，并非所有随机变量都具有矩生成函数。

顾名思义，矩生成函数可用于计算分布的矩：关于 0 的第${\displaystyle n}$个矩是矩生成函数的第${\displaystyle n}$阶导数，在 0 处求值。

除了实值分布（单变量分布），矩生成函数可以定义为向量或矩阵值的随机变量，甚至可以扩展到更一般的情况。

与特征函数不同，一个实数值分布的矩生成函数并不总是存在。 分布的矩生成函数的行为与分布的性质之间存在关系，例如矩的存在。

定义

随机变量${\displaystyle X}$的矩生成函数定义为：

${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} }$

前提是这个期望存在。

计算

如果${\displaystyle X}$具有连续概率密度函数${\displaystyle f(x)}$，则它的矩生成函数由下式给出：

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots }$

其中${\displaystyle m_{i}}$是第${\displaystyle i}$阶矩。${\displaystyle M_{X}(-t)}$是${\displaystyle f(x)}$的双边拉普拉斯变换。

不管概率分布是不是连续，矩生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出：

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{0}^{1}e^{tx}\,dF(x)}$

其中${\displaystyle F}$是累积分布函数。

如果${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$是一系列独立的随机变量，且

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

其中${\displaystyle a_{i}}$是常数，则${\displaystyle S_{n}}$的概率密度函数是每一个${\displaystyle X_{i}}$的概率密度函数的卷积，而${\displaystyle S_{n}}$的矩生成函数则为：

${\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)}$　。

对于分量为实数的向量值随机变量X，矩生成函数为：

${\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=\operatorname {E} \left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)}$

其中${\displaystyle \mathbf {t} }$是一个向量，${\displaystyle \langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }$ 是数量积。

意义

只要矩生成函数在${\displaystyle t=0}$周围的开区间存在，第${\displaystyle n}$个矩为：

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}}$　。

如果矩生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与矩生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。

累积量生成函数是矩生成函数的对数。

例子

下面是一些矩生成函数和特征函数的例子，用于比较。 可以看出，特征函数是矩生成函数${\displaystyle M_{X}(t)}$存在时的威克转动（Wick rotation）。

分布	矩生成函数 ${\displaystyle M_{X}(t)}$	特征函数 ${\displaystyle \varphi (t)}$
退化 ${\displaystyle \delta _{a}}$	${\displaystyle e^{ta}}$	${\displaystyle e^{ita}}$
伯努利 ${\displaystyle P(X=1)=p}$	${\displaystyle 1-p+pe^{t}}$	${\displaystyle 1-p+pe^{it}}$
几何 ${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p}$	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}$ ${\displaystyle \forall t<-\ln(1-p)}$	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}}$
二项式 ${\displaystyle B(n,p)}$	${\displaystyle \left(1-p+pe^{t}\right)^{n}}$	${\displaystyle \left(1-p+pe^{it}\right)^{n}}$
负二项 ${\displaystyle \operatorname {NB} (r,p)}$[注 1]	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{t}+pe^{t}}}\right)^{r},t<-\log(1-p)}$[1]	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\right)^{r}}$
泊松 ${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )}$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{t}-1)}}$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}$
均匀(连续型) ${\displaystyle \operatorname {U} (a,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$
均匀(离散型) ${\displaystyle \operatorname {DU} (a,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^{t})}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}}}$
拉普拉斯 ${\displaystyle L(\mu ,b)}$	${\displaystyle {\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}},~\left\vert t\right\vert <{\frac {1}{b}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}$
正态 ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$	${\displaystyle e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$
卡方(Chi-squared) ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$	${\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}}$	${\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}$
Noncentral chi-squared ${\displaystyle \chi _{k}^{2}(\lambda )}$	${\displaystyle e^{\frac {\lambda t}{1-2t}}(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}}$	${\displaystyle e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}$
伽玛(Gamma) ${\displaystyle \Gamma (k,\theta )}$	${\displaystyle (1-t\theta )^{-k},~\forall t<{\tfrac {1}{\theta }}}$	${\displaystyle (1-it\theta )^{-k}}$
指数(Exponential) ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$	${\displaystyle \left(1-t\lambda ^{-1}\right)^{-1},~t<\lambda }$	${\displaystyle \left(1-it\lambda ^{-1}\right)^{-1}}$
多元正态 ${\displaystyle N(\mathbf {\mu } ,\mathbf {\Sigma } )}$	${\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left({\boldsymbol {\mu }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\Sigma t} \right)}}$	${\displaystyle e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left(i{\boldsymbol {\mu }}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} \right)}}$
柯西(Cauchy) ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\theta )}$	不存在	${\displaystyle e^{it\mu -\theta |t|}}$
Multivariate Cauchy ${\displaystyle \operatorname {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )}$[2]	不存在	${\displaystyle \!\,e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}}$

参见

• 主矩
• 矩
• 阶乘矩生成函数
• 速率函数

注

1. 此处定义为：每次独立随机试验的成功率为${\displaystyle p}$时，第${\displaystyle r}$次成功前的失败次数的分布。定义上的差异详见负二项分布。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-11-21] （英语）.式(11)。
2. Kotz et al.^{[需要完整来源]} p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution