指数分布

在概率论和统计学中，指数分布（英语：Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来建模平均发生率恒定、连续、独立的事件发生的间隔，比如旅客进入机场的时间间隔、电话打进客服中心的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔、机器的寿命等。

指数分配

概率密度函数
累积分布函数
参数	${\displaystyle \lambda >0\,}$ 率
值域	${\displaystyle x\in [0;\infty )\!}$
概率密度函数	${\displaystyle \,\lambda e^{-\lambda x}}$
累积分布函数	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$
期望	${\displaystyle \lambda ^{-1}\,}$
中位数	${\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}$
众数	${\displaystyle 0\,}$
方差	${\displaystyle \lambda ^{-2}\,}$
偏度	${\displaystyle 2\,}$
峰度	${\displaystyle 6\,}$
熵	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )\,}$
矩生成函数	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$
特征函数	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,}$

记号

指数分布即形状参数α为1的伽玛分布。

若随机变量${\displaystyle X}$服从参数为${\displaystyle \lambda }$或${\displaystyle \beta }$的指数分布，则记作

${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ 或 ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\beta )}$

两者意义相同，只是${\displaystyle \lambda }$与${\displaystyle \beta }$互为倒数关系。只要将以下式子做${\displaystyle {\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}}$的替换即可，即，指数分布之概率密度函数为：

${\displaystyle f(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}\lambda }e^{-{\color {Red}\lambda }x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

或

${\displaystyle f(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

累积分布函数为：

${\displaystyle F(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\color {Red}{\lambda }x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

或

${\displaystyle F(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

其中${\displaystyle \lambda >0}$是分布的参数，即每单位时间发生该事件的次数；${\displaystyle \beta }$为尺度参数，即该事件在每单位时间内的发生率。两者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是[0,∞)。

特性

期望与方差

随机变量X (X 的参数为λ或β) 的期望是：

${\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda }}}={\color {Red}\beta }}$

例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X 的方差是：

${\displaystyle \mathbf {Var} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}={\color {Red}\beta ^{2}}}$

X 的偏态系数是： V[X] = 1

无记忆性

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循：

${\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.}$

与泊松过程的关系

泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{0}}{0!}}=e^{-\lambda t}}$,

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 ${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{1}}{1!}}=e^{-\lambda t}\lambda t}$, 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于${\displaystyle 1-e^{-\lambda t}}$。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

四分位数

率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是：

${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$

• 第一四分位数：${\displaystyle \ln(4/3)/\lambda \,}$
• 中位数：${\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}$
• 第三四分位数：${\displaystyle \ln(4)/\lambda \,}$

因此，四分位距为ln(3)/λ。

参数估计

最大似然法

给定独立同分布样本x = (x₁, ..., x_n)，λ的似然函数（Likelihood function）是：

${\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \,\exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\,\exp \!\left(\!-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right)}$

其中：

${\displaystyle {\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$是样本期望値。

似然函数对数的导数是：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(n\ln(\lambda )-\lambda n{\overline {x}}\right)={n \over \lambda }-n{\overline {x}}\ \left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\ 0<\lambda <1/{\overline {x}},\\\\=0&{\mbox{if}}\ \lambda =1/{\overline {x}},\\\\<0&{\mbox{if}}\ \lambda >1/{\overline {x}}.\end{matrix}}\right.}$

参数λ的最大似然估计（Maximum likelihood）值是：

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}={\frac {1}{\overline {x}}}}$

参见

• 拉普拉斯分布（又称：双指数分布）
• 几何分布

参考文献

1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部链接

• 指数分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆）